home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ Experimental BBS Explossion 3 / Experimental BBS Explossion III.iso / os2 / pmfract2.zip / PMFRACT.HLP (.txt) < prev    next >
OS/2 Help File  |  1992-07-03  |  134KB  |  3,804 lines
  1.  
  2. ΓòÉΓòÉΓòÉ 1. Copyright ΓòÉΓòÉΓòÉ
  3.  
  4. Copyright (C) 1992 The Stone Soup Group.  FRACTINT for OS/2 2.0 may be freely 
  5. copied and distributed, but may not be sold. 
  6.  
  7. GIF and "Graphics Interchange Format" are trademarks of Compuserve 
  8. Incorporated, an H&R Block Company. 
  9.  
  10.  
  11. ΓòÉΓòÉΓòÉ 2. What's New ΓòÉΓòÉΓòÉ
  12.  
  13. Release 17.2 of Fractint for OS/2 2.0 
  14.  
  15. The following is what I remember adding. 
  16.  
  17. o This program is now full 32-bit 386 protected mode. 
  18.  
  19. o The fractal calculation engine is from Fractint for DOS version 17.2 (the 
  20.   "portable" source). All formulas available in that release are available 
  21.   here. This version appears externally identical to Fractint for DOS version 
  22.   17.1. 
  23.  
  24. o Palette Manager support has been added. This means that, on proper hardware 
  25.   and OS/2 2.0 driver levels, the exact color RGB values used in the program 
  26.   will be displayed (limited to the mapping done by the Palette Manager. The 
  27.   foreground program gets first crack at setting its colors, then background 
  28.   programs). 
  29.  
  30.   At least I think so. At the present, there are NO drivers delivered with 
  31.   Palette Manager support. The calls exist, I am not receiving errors, But The 
  32.   Color's Don't Change! 
  33.  
  34.   Note:  It is my best information that a basic VGA (256K memory, 640x480 
  35.   16-color) Is Not and NEVER Will Be Proper Hardware and Drivers for Palette 
  36.   Manager functions.  Sorry! 
  37.  
  38. o The fractal calculation engine has finally recieved a reprieve from the 
  39.   limits of the 64K segments of DOS and Windows. As such, the fractal image can 
  40.   now be 4096 by 4096 pixels. 
  41.  
  42.   Warning: Don't over do this new-found freedom. 
  43.  
  44.   Do a little reality check first. 
  45.  
  46.   The fact is PMFRACT needs a pixel memory array of the size you ask, and OS/2 
  47.   NEEDS ONE, TOO. 
  48.  
  49.   A little calculation: 
  50.  
  51.    A 2-color image needs 1 bit per pixel, a 16-color image needs a half byte (4 
  52.    bits), and a 256-color image needs 1 full byte (8 bits). An image 4096 by 
  53.    4096 by 256 colors needs 4096x4096/1 = 16,777,216 bytes or 16 megabytes -- 
  54.    TIMES 2; or 32 MEGABYTES of memory. OS/2 2.0 can handle it. Can your system? 
  55.  
  56.    Remember, what doesn't fit in your real memory comes out of your hard disk's 
  57.    SWAPPER.DAT file. Do you have that much space free to begin with? Can the 
  58.    drive live long enough to handle all the swapping? A test (well, really a 
  59.    finger check) during development revealed that you can easily end up with a 
  60.    situation that could only be described as disk-video at its worst. (And no, 
  61.    OS/2 2.0 Did Not Crash.) 
  62.  
  63. o Support for reading and writing in the PC Paintbrush . PCX format has been 
  64.   added. 
  65.  
  66. o Printer support has been enhanced to include a Printer Setup dialog, allowing 
  67.   a Presentation Manager printer to be selected and Job Properties to be set. 
  68.  
  69. The following was added to version 3.0 of Fractint for Presentation Manager - 
  70. the 16-bit predecessor and base for Fractint for OS/2 2.0: 
  71.  
  72. o This entire help system is new. Much of the on-line help system from Fractint 
  73.   for DOS has been adapted to the OS/2 PM Help manager. 
  74.  
  75.   Try hitting F1 at any point in the dialogs. The result is supposed to be in 
  76.   context and helpful. 
  77.  
  78.   The entire help file is available both in context with the running program as 
  79.   well as in an on-line book format. To view the on-line book, issue the 
  80.   command "VIEW PMFRACT.INF". 
  81.  
  82. o A simple keyboard interface of some of the useful Fractint for DOS command 
  83.   keys has been added. See the selection "Keys Help" from the main Help menu 
  84.   selection. 
  85.  
  86. o Support has been added for Bitmap files in the Windows 3.0 compressed formats 
  87.   (RLE4 and RLE8), and OS/2 2.0 standard and RLE4 and RLE8 compressed formats. 
  88.   This is in addition to the original support for OS/2 1.x and Windows 3.0 
  89.   uncompressed bitmap formats. 
  90.  
  91. o Print support has been extended to whatever type printer (Color or Black and 
  92.   White) the Presentation Manager supports. This complicates printing on a 
  93.   Black and White printer. To print Black and White, select one of the Black 
  94.   and White palettes from the Settings/Palette menu before printing. 
  95.  
  96. o I have found a few speed-ups for the PM interface code. 
  97.  
  98.  
  99. ΓòÉΓòÉΓòÉ 3. Introduction ΓòÉΓòÉΓòÉ
  100.  
  101. FRACTINT plots and manipulates images of "objects" -- actually, sets of 
  102. mathematical points -- that have fractal dimension. See chapter 9 for some 
  103. historical and mathematical background on fractal geometry, a discipline named 
  104. and popularized by mathematician Benoit Mandelbrot. For now, these sets of 
  105. points have three important properties: 
  106.  
  107.  1. They are generated by relatively simple calculations repeated over and 
  108.     over, feeding the results of each step back into the next -- something 
  109.     computers can do very rapidly. 
  110.  
  111.  2. They are, quite literally, infinitely complex: they reveal more and more 
  112.     detail without limit as you plot smaller and smaller areas. Fractint lets 
  113.     you "zoom in" by positioning a small box and hitting <Enter> to redraw the 
  114.     boxed area at full-screen size; its maximum linear "magnification" is over 
  115.     a trillionfold. 
  116.  
  117.  3. They can be astonishingly beautiful, especially using PC color displays' 
  118.     ability to assign colors to selected points, and (with VGA displays or EGA 
  119.     in 640x350x16 mode) to "animate" the images by quickly shifting those color 
  120.     assignments. 
  121.  
  122. The name FRACTINT was chosen because the program generates many of its images 
  123. using INTeger math, rather than the floating point calculations used by most 
  124. such programs. That means that you don't need a math co- processor chip (aka 
  125. floating point unit or FPU), although for a few fractal types where floating 
  126. point math is faster, the program recognizes and automatically uses an 80x87 
  127. chip if it's present. It's even faster on systems using Intel's 80386 and 80486 
  128. microprocessors, where the integer math can be executed in their native 32-bit 
  129. mode. 
  130.  
  131. Fractint works with many adapters and graphics modes from CGA to the 1024x768, 
  132. 256-color 8514/A mode. Even "larger" images, up to 2048x2048x256, can be 
  133. plotted to expanded memory, extended memory, or disk: this bypasses the screen 
  134. and allows you to create images with higher resolution than your current 
  135. display can handle, and to run in "background" under multi-tasking control 
  136. programs such as DESQview and Windows 3. 
  137.  
  138.  
  139. ΓòÉΓòÉΓòÉ 3.1. History of this program ΓòÉΓòÉΓòÉ
  140.  
  141. Fractint is an experiment in collaboration. Many volunteers have joined Bert 
  142. Tyler, the program's first author, in improving successive versions. Through 
  143. electronic mail messages, first on CompuServe's PICS forum and now on COMART, 
  144. new versions are hacked out and debugged a little at a time. Fractint was born 
  145. fast, and none of us has seen any other fractal plotter close to the present 
  146. version for speed, versatility, and all-around wonderfulness. (If you have, 
  147. tell us so we can steal somebody else's ideas instead of each other's.) See 
  148. Appendix B for information about the authors and how to contribute your own 
  149. ideas and code. 
  150.  
  151. Fractint for OS/2 2.0 was adapted from Fractint-for-DOS by Donald P. Egen, CIS 
  152. ID 73507,3143. This program was a training exercise in Presentation Manager and 
  153. SAA programming, which goes a long way towards explaining a lot of the bugs. My 
  154. task was made a lot easier by Pieter Branderhorst, who separated the 
  155. DOS-specific code from Fractint-for-DOS's fractal generator modules, and the 
  156. efforts of Bert Tyler in porting Fractint-for-DOS to Windows. By noting what 
  157. Bert had to do to get the fractal generator running under Windows, and the user 
  158. interface functionality needed for the Windows environment, I was able to 
  159. create a Presentation Manager user interface that could adequately drive the 
  160. fractal generator. Besides, I like looking at the pretty pictures. 
  161.  
  162. Fractint for OS/2 2.0 is based heavily on (and uses the fractal generator 
  163. engines straight out of) Fractint-for-DOS.  A partial list of the authors of 
  164. Fractint-for-DOS includes: 
  165.  
  166.  ------------------  Primary Authors (this changes over time)  -----------------
  167.  Bert Tyler           CompuServe (CIS) ID: [73477,433]
  168.  Timothy Wegner       CIS ID: [71320,675]   Internet: twegner@mwunix.mitre.org
  169.  Mark Peterson          CIS ID: [70441,3353]
  170.  Pieter Branderhorst  CIS ID: [72611,2257]
  171.                  ---------  Contributing Authors ----------
  172.  Michael Abrash   360x480x256, 320x400x256 VGA video modes
  173.  Joseph Albrecht  Tandy video, CGA video speedup
  174.  Kevin Allen      Finite attractor and bifurcation engine
  175.  Steve Bennett      restore-from-disk logic
  176.  Rob Beyer      [71021,2074] Barnsley IFS, Lorenz fractals
  177.  Mike Burkey      376x564x256, 400x564x256, and 832x612x256 VGA video modes
  178.  John Bridges      [75300,2137] superVGA support, 360x480x256 mode
  179.  Brian Corbino      [71611,702] Tandy 1000 640x200x16 video mode
  180.  Lee Crocker      [73407,2030] Fast Newton, Inversion, Decomposition..
  181.  Monte Davis      [71450,3542] Documentation
  182.  Chuck Ebbert     [76306,1226] cmprsd & sqrt logmap, fpu speedups
  183.  Richard Finegold [76701,153] 8/16/../256-Way Decomposition option
  184.  Frank Fussenegger Mandelbrot speedups
  185.  Mike Gelvin      [73337,520] Mandelbrot speedups
  186.  Lawrence Gozum   [73437,2372] Tseng 640x400x256 Video Mode
  187.  David Guenther   [70531,3525] Boundary Tracing algorithm
  188.  Norman Hills      [71621,1352] Ranges option
  189.  Richard Hughes   [70461,3272] "inside=", "outside=" coloring options
  190.  Mike Kaufman      [kaufman@eecs.nwu.edu] mouse support, other features
  191.  Wesley Loewer      fast floating-point Mandelbrot/Julia logic
  192.  Adrian Mariano   [adrian@u.washington.edu] Diffusion & L-Systems
  193.  Charles Marslett [75300,1636] VESA video and IIT math chip support
  194.  Joe McLain      [75066,1257] TARGA Support, color-map files
  195.  Bob Montgomery   [73357,3140] (Author of VPIC) Fast text I/O routines
  196.  Bret Mulvey      plasma clouds
  197.  Roy Murphy      [76376,721] Lyapunov Fractals
  198.  Ethan Nagel      [70022,2552] Palette editor, integrated help/doc system
  199.  Jonathan Osuch   [73277,1432] IIT detect
  200.  Marc Reinig      [72410,77] Lots of 3D options
  201.  Kyle Powell      [76704,12] 8514/A Support
  202.  Matt Saucier      [72371,3101] Printer Support
  203.  Herb Savage      [71640,455] 'inside=bof60', 'inside=bof61' options
  204.  Lee Skinner      Tetrate, Spider, Mandelglass fractal types and more
  205.  Dean Souleles      [75115,1671] Hercules Support
  206.  Kurt Sowa      [73467,2013] Color Printer Support
  207.  Hugh Steele      cyclerange feature
  208.  Chris Taylor     Floating&Fixed-point algorithm speedups, Tesseral Option
  209.  Scott Taylor      [72401,410] (DGWM18A) PostScript, Kam Torus, many fn types.
  210.  Bill Townsend      Mandelbrot Speedups
  211.  Paul Varner      [73237,441] Extended Memory support for Disk Video
  212.  Dave Warker      Integer Mandelbrot Fractals concept
  213.  Phil Wilson      [76247,3145] Distance Estimator, Bifurcation fractals
  214.  Nicholas Wilt      Lsystem speedups
  215.  Richard Wilton   Tweaked VGA Video modes
  216.           ...
  217.  Byte Magazine      Tweaked VGA Modes
  218.  MS-Kermit      Keyboard Routines
  219.  PC Magazine      Sound Routines
  220.  PC Tech Journal  CPU, FPU Detectors
  221.  
  222.  
  223. ΓòÉΓòÉΓòÉ 3.2. Distribution Policy ΓòÉΓòÉΓòÉ
  224.  
  225. Fractint is freeware. The copyright is retained by the Stone Soup Group. 
  226.  
  227. Conditions on use: Fractint may be freely copied and distributed but may not be 
  228. sold. It may be used personally or in a business - if you can do your job 
  229. better by using Fractint, or use images from it, that's great! It may be given 
  230. away with commercial products under the following conditions: 
  231.  
  232. o It must be clearly stated that Fractint does not belong to the vendor and is 
  233.   included as a free give-away. 
  234. o It must be a complete unmodified release of Fractint, with documentation, 
  235.   unless other arrangements are made with the Stone Soup Group. 
  236.  
  237. There is no warranty of Fractint's suitability for any purpose, nor any 
  238. acceptance of liability, express or implied. 
  239.  
  240. Source code for Fractint is also freely available. See the FRACTSRC.DOC file 
  241. included with it for conditions on use. (In most cases we just want credit.) 
  242.  
  243. Contribution policy: Don't want money. Got money. Want admiration. 
  244.  
  245. **** Warning **** Warning **** Warning ****
  246. No Warranties are either Expressed or Implied!
  247. **** Warning **** Warning **** Warning ****
  248.  
  249. So, that's it.  Please let me know what you think. I will be checking the 
  250. COMART forum on CompuServe periodically. 
  251.  
  252.  
  253. ΓòÉΓòÉΓòÉ 3.3. Contacting the Author ΓòÉΓòÉΓòÉ
  254.  
  255. You may contact me as follows: 
  256.  
  257.  Donald P. Egen
  258.  409 Cameron Circle, Apt. 1204
  259.  Chattanooga, TN  37402
  260.  CIS 73507,3143
  261.  
  262.  
  263. ΓòÉΓòÉΓòÉ 4. The Fractal Formulas ΓòÉΓòÉΓòÉ
  264.  
  265. These panels give details of the fractal formulas and parameters. Select them 
  266. from the fractal descriptions or from the table of contents. 
  267.  
  268.  
  269. ΓòÉΓòÉΓòÉ 4.1. barnsleyj1 formula ΓòÉΓòÉΓòÉ
  270.  
  271. z(0) = pixel;
  272. z(n+1) = (z-1)*c if real(z) >= 0, else
  273. z(n+1) = (z+1)*modulus(c)/c
  274.  
  275. Two parameters: real and imaginary parts of c 
  276.  
  277. Select here for  details. 
  278.  
  279.  
  280. ΓòÉΓòÉΓòÉ 4.2. barnsleyj2 formula ΓòÉΓòÉΓòÉ
  281.  
  282. z(0) = pixel;
  283. if real(z(n)) * imag(c) + real(c) * imag(z((n)) >= 0
  284.    z(n+1) = (z(n)-1)*c
  285. else
  286.    z(n+1) = (z(n)+1)*c
  287.  
  288. Two parameters: real and imaginary parts of c 
  289.  
  290. Select here for  details. 
  291.  
  292.  
  293. ΓòÉΓòÉΓòÉ 4.3. barnsleyj3 formula ΓòÉΓòÉΓòÉ
  294.  
  295. z(0) = pixel;
  296. if real(z(n) > 0 then z(n+1) = (real(z(n))^2 - imag(z(n))^2 - 1)
  297.      + i * (2*real(z((n)) * imag(z((n))) else
  298. z(n+1) = (real(z(n))^2 - imag(z(n))^2 - 1 + real(c) * real(z(n))
  299.      + i * (2*real(z((n)) * imag(z((n)) + imag(c) * real(z(n))
  300.  
  301. Two parameters: real and imaginary parts of c. 
  302.  
  303. Select here for  details. 
  304.  
  305.  
  306. ΓòÉΓòÉΓòÉ 4.4. barnsleym1 formula ΓòÉΓòÉΓòÉ
  307.  
  308. z(0) = c = pixel;
  309. if real(z) >= 0 then
  310.     z(n+1) = (z-1)*c
  311. else
  312.     z(n+1) = (z+1)*modulus(c)/c.
  313.  
  314. Parameters are perturbations of z(0) 
  315.  
  316. Select here for  details. 
  317.  
  318.  
  319. ΓòÉΓòÉΓòÉ 4.5. barnsleym2 formula ΓòÉΓòÉΓòÉ
  320.  
  321. z(0) = c = pixel;
  322. if real(z)*imag(c) + real(c)*imag(z) >= 0
  323.     z(n+1) = (z-1)*c
  324. else
  325.     z(n+1) = (z+1)*c
  326.  
  327. Parameters are perturbations of z(0) 
  328.  
  329. Select here for  details. 
  330.  
  331.  
  332. ΓòÉΓòÉΓòÉ 4.6. barnsleym3 formula ΓòÉΓòÉΓòÉ
  333.  
  334. z(0) = c = pixel;
  335. if real(z(n) > 0 then z(n+1) = (real(z(n))^2 - imag(z(n))^2 - 1)
  336.    + i * (2*real(z((n)) * imag(z((n))) else
  337. z(n+1) = (real(z(n))^2 - imag(z(n))^2 - 1 + real(c) * real(z(n))
  338.    + i * (2*real(z((n)) * imag(z((n)) + imag(c) * real(z(n))
  339.  
  340. Parameters are pertubations of z(0) 
  341.  
  342. Select here for  details. 
  343.  
  344.  
  345. ΓòÉΓòÉΓòÉ 4.7. bifurcation formula ΓòÉΓòÉΓòÉ
  346.  
  347. Pictorial representation of a population growth model. 
  348.  
  349. Let P = new population, p = oldpopulation, r = growth rate 
  350.  
  351. The model is: 
  352.  
  353. P = p +  r*p*(1-p).
  354.  
  355. No parameters. 
  356.  
  357. Select here for  details. 
  358.  
  359.  
  360. ΓòÉΓòÉΓòÉ 4.8. bif+sinpi formula ΓòÉΓòÉΓòÉ
  361.  
  362. Bifurcation variation: model is: 
  363.  
  364. P = p + r*sin(PI*p).
  365.  
  366. No parameters. 
  367.  
  368. Select here for  details. 
  369.  
  370.  
  371. ΓòÉΓòÉΓòÉ 4.9. bif=sinpi formula ΓòÉΓòÉΓòÉ
  372.  
  373. Bifurcation variation: model is: 
  374.  
  375. P = r*sin(PI*p).
  376.  
  377. No parameters. 
  378.  
  379. Select here for  details. 
  380.  
  381.  
  382. ΓòÉΓòÉΓòÉ 4.10. biflambda formula ΓòÉΓòÉΓòÉ
  383.  
  384. Bifurcation variation: model is: 
  385.  
  386. P = r*p*(1-p)P.
  387.  
  388. No parameters. 
  389.  
  390. Select here for  details. 
  391.  
  392.  
  393. ΓòÉΓòÉΓòÉ 4.11. bifstewart formula ΓòÉΓòÉΓòÉ
  394.  
  395. Bifurcation variation: model is: P = (r*p*p) - 1. 
  396.  
  397. Two parameters: Filter Cycles and Seed Population. 
  398.  
  399. Select here for  details. 
  400.  
  401.  
  402. ΓòÉΓòÉΓòÉ 4.12. Circle formula ΓòÉΓòÉΓòÉ
  403.  
  404. Circle pattern by John Connett 
  405.  
  406. x + iy = pixel
  407. z = a*(x^2 + y^2)
  408. c = integer part of z
  409. color = c modulo(number of colors)
  410.  
  411. Select here for  details. 
  412.  
  413.  
  414. ΓòÉΓòÉΓòÉ 4.13. cmplxmarksjul formula ΓòÉΓòÉΓòÉ
  415.  
  416. A generalization of the marksjulia fractal. 
  417.  
  418. z(0) = pixel;
  419. z(n+1) = (c^exp)*z(n) + c.
  420.  
  421. Four parameters: real and imaginary parts of c and exp. 
  422.  
  423. Select here for  details. 
  424.  
  425.  
  426. ΓòÉΓòÉΓòÉ 4.14. cmplxmarksmand formula ΓòÉΓòÉΓòÉ
  427.  
  428. A generalization of the marksmandel fractal. 
  429.  
  430. z(0) = c = pixel;
  431. z(n+1) = (c^exp)*z(n) + c.
  432.  
  433. Four parameters: real and imaginary parts of perturbation of z(0) and exp. 
  434.  
  435. Select here for  details. 
  436.  
  437.  
  438. ΓòÉΓòÉΓòÉ 4.15. complexnewton and complexbasin formula ΓòÉΓòÉΓòÉ
  439.  
  440. Newton fractal types extended to complex degrees. Complexnewton colors pixels 
  441. according to the number of iterations required to escape to a root. 
  442. Complexbasin colors pixels according to which root captures the orbit. The 
  443. equation is based on the newton formula for solving the equation z^p = r 
  444.  
  445. z(0) = pixel;
  446. z(n+1) = ((p - 1) * z(n)^p + r)/(p * z(n)^(p - 1)).
  447.  
  448. Four parameters: real & imaginary parts of degree p and root r 
  449.  
  450. Select here for  details. 
  451.  
  452.  
  453. ΓòÉΓòÉΓòÉ 4.16. diffusion formula ΓòÉΓòÉΓòÉ
  454.  
  455. Diffusion Limited Aggregation.  Randomly moving points accumulate. 
  456.  
  457. One parameter: border width (default 10) 
  458.  
  459. Select here for  details. 
  460.  
  461.  
  462. ΓòÉΓòÉΓòÉ 4.17. fn+fn(pix) formula ΓòÉΓòÉΓòÉ
  463.  
  464. c = z(0) = pixel;
  465. z(n+1) = fn1(z) + p*fn2(c)
  466.  
  467. Six parameters: real and imaginary parts of the perturbation of z(0) and factor 
  468. p, and the functions fn1, and fn2. 
  469.  
  470. Select here for  details. 
  471.  
  472.  
  473. ΓòÉΓòÉΓòÉ 4.18. fn(z*z*) formula ΓòÉΓòÉΓòÉ
  474.  
  475. z(0) = pixel;
  476. z(n+1) = fn(z(n)*z(n))
  477.  
  478. One parameter: the function fn. 
  479.  
  480. Select here for  details. 
  481.  
  482.  
  483. ΓòÉΓòÉΓòÉ 4.19. fn*fn formula ΓòÉΓòÉΓòÉ
  484.  
  485. z(0) = pixel; z(n+1) = fn1(n)*fn2(n)
  486.  
  487. Two parameters: the functions fn1 and fn2. 
  488.  
  489. Select here for  details. 
  490.  
  491.  
  492. ΓòÉΓòÉΓòÉ 4.20. fn*z+z formula ΓòÉΓòÉΓòÉ
  493.  
  494. z(0) = pixel; z(n+1) = p1*fn(z(n))*z(n) + p2*z(n)
  495.  
  496. Six parameters: the real and imaginary components of p1 and p2, and the 
  497. functions fn1 and fn2. 
  498.  
  499. Select here for  details. 
  500.  
  501.  
  502. ΓòÉΓòÉΓòÉ 4.21. fn+fn ΓòÉΓòÉΓòÉ
  503.  
  504. z(0) = pixel;
  505. z(n+1) = p1*fn1(z(n))+p2*fn2(z(n))
  506.  
  507. Six parameters: The real and imaginary components of p1 and p2, and the 
  508. functions fn1 and fn2. 
  509.  
  510. Select here for  details. 
  511.  
  512.  
  513. ΓòÉΓòÉΓòÉ 4.22. gingerbread man formula ΓòÉΓòÉΓòÉ
  514.  
  515. Orbit in two dimensions defined by: 
  516.  
  517. x(n+1) = 1 - y(n) + |x(n)|
  518. y(n+1) = x(n)
  519.  
  520. Two parameters: initial values of x(0) and y(0). 
  521.  
  522. Select here for  details. 
  523.  
  524.  
  525. ΓòÉΓòÉΓòÉ 4.23. henon ΓòÉΓòÉΓòÉ
  526.  
  527. Orbit in two dimensions defined by: 
  528.  
  529. x(n+1) = 1 + y(n) - a*x(n)*x(n)
  530. y(n+1) = b*x(n)
  531.  
  532. Two parameters: a and b 
  533.  
  534. Select here for  details. 
  535.  
  536.  
  537. ΓòÉΓòÉΓòÉ 4.24. Hopalong formula ΓòÉΓòÉΓòÉ
  538.  
  539. Hopalong attractor by Barry Martin - orbit in two dimensions. 
  540.  
  541. z(0) = y(0) = 0;
  542. x(n+1) = y(n) - sign(x(n))*sqrt(abs(b*x(n)-c))
  543. y(n+1) = a - x(n)
  544.  
  545. Parameters are a, b, and c. 
  546.  
  547. Select here for  details. 
  548.  
  549.  
  550. ΓòÉΓòÉΓòÉ 4.25. julfn+exp formula ΓòÉΓòÉΓòÉ
  551.  
  552. A generalized Clifford Pickover fractal. 
  553.  
  554. z(0) = pixel;
  555. z(n+1) = fn(z(n)) + e^z(n) + c.
  556.  
  557. Three parameters: real & imaginary parts of c, and fn 
  558.  
  559. Select here for  details. 
  560.  
  561.  
  562. ΓòÉΓòÉΓòÉ 4.26. julfn+zsqrd formula ΓòÉΓòÉΓòÉ
  563.  
  564. z(0) = pixel;
  565. z(n+1) = fn(z(n)) + z(n)^2 + c
  566.  
  567. Three parameters: real & imaginary parts of c, and fn 
  568.  
  569. Select here for  details. 
  570.  
  571.  
  572. ΓòÉΓòÉΓòÉ 4.27. julia formula ΓòÉΓòÉΓòÉ
  573.  
  574. Classic Julia set fractal. 
  575.  
  576. z(0) = pixel; z(n+1) = z(n)^2 + c.
  577.  
  578. Two parameters: real and imaginary parts of c. 
  579.  
  580. Select here for  details. 
  581.  
  582.  
  583. ΓòÉΓòÉΓòÉ 4.28. julia4 formula ΓòÉΓòÉΓòÉ
  584.  
  585. Fourth-power Julia set fractals, a special case of julzpower kept for speed. 
  586.  
  587. z(0) = pixel;
  588. z(n+1) = z(n)^4 + c.
  589.  
  590. Two parameters: real and imaginary parts of c. 
  591.  
  592. Select here for  details. 
  593.  
  594.  
  595. ΓòÉΓòÉΓòÉ 4.29. julzpower formula ΓòÉΓòÉΓòÉ
  596.  
  597. z(0) = pixel;
  598. z(n+1) = z(n)^m + c.
  599.  
  600. Three parameters: real & imaginary parts of c, exponent m 
  601.  
  602. Select here for  details. 
  603.  
  604.  
  605. ΓòÉΓòÉΓòÉ 4.30. julzzpwr formula ΓòÉΓòÉΓòÉ
  606.  
  607. z(0) = pixel;
  608. z(n+1) = z(n)^z(n) + z(n)^m + c.
  609.  
  610. Three parameters: real & imaginary parts of c, exponent m 
  611.  
  612. Select here for  details. 
  613.  
  614.  
  615. ΓòÉΓòÉΓòÉ 4.31. kamtorus, kamtorus3d formulas ΓòÉΓòÉΓòÉ
  616.  
  617. Series of orbits superimposed. 3d version has 'orbit' the z dimension. 
  618.  
  619. x(0) = y(0) = orbit/3;
  620. x(n+1) = x(n)*cos(a) + (x(n)*x(n)-y(n))*sin(a)
  621. y(n+1) = x(n)*sin(a) - (x(n)*x(n)-y(n))*cos(a)
  622.  
  623. After each orbit, 'orbit' is incremented by a step size. 
  624.  
  625. Parameters: a, step size, stop value for 'orbit', and points per orbit. 
  626.  
  627. Select here for  details. 
  628.  
  629.  
  630. ΓòÉΓòÉΓòÉ 4.32. lambda formula ΓòÉΓòÉΓòÉ
  631.  
  632. Classic Lambda fractal. 'Julia' variant of Mandellambda. 
  633.  
  634. z(0) = pixel;
  635. z(n+1) = lambda*z(n)*(1 - z(n)^2).
  636.  
  637. Two parameters: real and imaginary parts of lambda. 
  638.  
  639. Select here for  details. 
  640.  
  641.  
  642. ΓòÉΓòÉΓòÉ 4.33. lambdafn formula ΓòÉΓòÉΓòÉ
  643.  
  644. z(0) = pixel;
  645. z(n+1) = lambda * fn(z(n)).
  646.  
  647. Three parameters: real, imag portions of lambda, and fn 
  648.  
  649. Select here for  details. 
  650.  
  651.  
  652. ΓòÉΓòÉΓòÉ 4.34. lorenz, lorenz3d forumla ΓòÉΓòÉΓòÉ
  653.  
  654. Lorenz attractor - orbit in three dimensions. In 2d the x and y components are 
  655. projected to form the image. 
  656.  
  657. z(0) = y(0) = z(0) = 1;
  658. x(n+1) = x(n) + (-a*x(n)*dt) + (   a*y(n)*dt)
  659. y(n+1) = y(n) + ( b*x(n)*dt) - (     y(n)*dt) - (z(n)*x(n)*dt)
  660. z(n+1) = z(n) + (-c*z(n)*dt) + (x(n)*y(n)*dt)
  661.  
  662. Parameters are dt, a, b, and c. 
  663.  
  664. Select here for  details. 
  665.  
  666.  
  667. ΓòÉΓòÉΓòÉ 4.35. lorenz3d1 formula ΓòÉΓòÉΓòÉ
  668.  
  669. Lorenz one lobe attractor - orbit in three dimensions. 
  670.  
  671. The original formulas were developed by Rick Miranda and Emily Stone. 
  672.  
  673. z(0) = y(0) = z(0) = 1; norm = sqrt(x(n)^2 + y(n)^2)
  674. x(n+1) = x(n) + (-a*dt-dt)*x(n) + (a*dt-b*dt)*y(n)
  675.    + (dt-a*dt)*norm + y(n)*dt*z(n)
  676. y(n+1) = y(n) + (b*dt-a*dt)*x(n) - (a*dt+dt)*y(n)
  677.    + (b*dt+a*dt)*norm - x(n)*dt*z(n) - norm*z(n)*dt
  678. z(n+1) = z(n) +(y(n)*dt/2) - c*dt*z(n)
  679.  
  680. Parameters are dt, a, b, and c. 
  681.  
  682. Select here for  details. 
  683.  
  684.  
  685. ΓòÉΓòÉΓòÉ 4.36. lorenz3d3 ΓòÉΓòÉΓòÉ
  686.  
  687. Lorenz three lobe attractor - orbit in three dimensions. 
  688.  
  689. The original formulas were developed by Rick Miranda and Emily Stone. 
  690.  
  691. z(0) = y(0) = z(0) = 1; norm = sqrt(x(n)^2 + y(n)^2)
  692. x(n+1) = x(n) +(-(a*dt+dt)*x(n) + (a*dt-b*dt+z(n)*dt)*y(n))/3
  693.     + ((dt-a*dt)*(x(n)^2-y(n)^2)
  694.     + 2*(b*dt+a*dt-z(n)*dt)*x(n)*y(n))/(3*norm)
  695. y(n+1) = y(n) +((b*dt-a*dt-z(n)*dt)*x(n) - (a*dt+dt)*y(n))/3
  696.     + (2*(a*dt-dt)*x(n)*y(n)
  697.     + (b*dt+a*dt-z(n)*dt)*(x(n)^2-y(n)^2))/(3*norm)
  698. z(n+1) = z(n) +(3*x(n)*dt*x(n)*y(n)-y(n)*dt*y(n)^2)/2 - c*dt*z(n)
  699.  
  700. Parameters are dt, a, b, and c. 
  701.  
  702. Select here for  details. 
  703.  
  704.  
  705. ΓòÉΓòÉΓòÉ 4.37. lorenz3d4 ΓòÉΓòÉΓòÉ
  706.  
  707. Lorenz four lobe attractor - orbit in three dimensions. 
  708.  
  709. The original formulas were developed by Rick Miranda and Emily Stone. 
  710.  
  711. z(0) = y(0) = z(0) = 1;
  712. x(n+1) = x(n) +(-a*dt*x(n)^3
  713.    + (2*a*dt+b*dt-z(n)*dt)*x(n)^2*y(n) + (a*dt-2*dt)*x(n)*y(n)^2
  714.    + (z(n)*dt-b*dt)*y(n)^3) / (2 * (x(n)^2+y(n)^2))
  715. y(n+1) = y(n) +((b*dt-z(n)*dt)*x(n)^3 + (a*dt-2*dt)*x(n)^2*y(n)
  716.    + (-2*a*dt-b*dt+z(n)*dt)*x(n)*y(n)^2
  717.    - a*dt*y(n)^3) / (2 * (x(n)^2+y(n)^2))
  718. z(n+1) = z(n) +(2*x(n)*dt*x(n)^2*y(n) - 2*x(n)*dt*y(n)^3 - c*dt*z(n))
  719.  
  720. Parameters are dt, a, b, and c. 
  721.  
  722. Select here for  details. 
  723.  
  724.  
  725. ΓòÉΓòÉΓòÉ 4.38. magnetj1 formula ΓòÉΓòÉΓòÉ
  726.  
  727. z(0) = pixel;
  728.           / z(n)^2 + (c-1) \\
  729. z(n+1) = | ---------------- | ^ 2
  730.           \ 2*z(n) + (c-2) /
  731.  
  732. Parameters: the real and imaginary parts of c 
  733.  
  734. Select here for  details. 
  735.  
  736.  
  737. ΓòÉΓòÉΓòÉ 4.39. magnet1m formula ΓòÉΓòÉΓòÉ
  738.  
  739. z(0) = 0; c = pixel;
  740.           / z(n)^2 + (c-1) \\
  741. z(n+1) = | ---------------- | ^ 2
  742.           \ 2*z(n) + (c-2) /
  743.  
  744. Parameters: the real & imaginary parts of perturbation of z(0) 
  745.  
  746. Select here for  details. 
  747.  
  748.  
  749. ΓòÉΓòÉΓòÉ 4.40. magnet2j formula ΓòÉΓòÉΓòÉ
  750.  
  751. z(0) = pixel;
  752.           / z(n)^3 + 3*(C-1)*z(n) + (C-1)*(C-2)         \\
  753. z(n+1) = |  -------------------------------------------- | ^ 2
  754.           \ 3*(z(n)^2) + 3*(C-2)*z(n) + (C-1)*(C-2) - 1 /
  755.  
  756. Parameters: the real and imaginary parts of c 
  757.  
  758. Select here for  details. 
  759.  
  760.  
  761. ΓòÉΓòÉΓòÉ 4.41. magnet2m formula ΓòÉΓòÉΓòÉ
  762.  
  763. z(0) = 0; c = pixel;
  764.           / z(n)^3 + 3*(C-1)*z(n) + (C-1)*(C-2)         \\
  765. z(n+1) = |  -------------------------------------------- | ^ 2
  766.           \ 3*(z(n)^2) + 3*(C-2)*z(n) + (C-1)*(C-2) - 1 /
  767.  
  768. Parameters: the real and imaginary parts of perturbation of z(0) 
  769.  
  770. Select here for  details. 
  771.  
  772.  
  773. ΓòÉΓòÉΓòÉ 4.42. mandel formula ΓòÉΓòÉΓòÉ
  774.  
  775. Classic Mandelbrot set fractal. 
  776.  
  777. z(0) = c = pixel;
  778. z(n+1) = z(n)^2 + c.
  779.  
  780. Two parameters: real & imaginary perturbations of z(0) 
  781.  
  782. Select here for  details. 
  783.  
  784.  
  785. ΓòÉΓòÉΓòÉ 4.43. mandel4 formula ΓòÉΓòÉΓòÉ
  786.  
  787. Special case of mandelzpower kept for speed. 
  788.  
  789. z(0) = c = pixel;
  790. z(n+1) = z(n)^4 + c.
  791.  
  792. Parameters: real & imaginary perturbations of z(0) 
  793.  
  794. Select here for  details. 
  795.  
  796.  
  797. ΓòÉΓòÉΓòÉ 4.44. mandelfn formula ΓòÉΓòÉΓòÉ
  798.  
  799. z(0) = c = pixel;
  800. z(n+1) = c*fn(z(n)).
  801.  
  802. Parameters: real & imaginary perturbations of z(0), and fn 
  803.  
  804. Select here for  details. 
  805.  
  806.  
  807. ΓòÉΓòÉΓòÉ 4.45. Martin formula ΓòÉΓòÉΓòÉ
  808.  
  809. Attractor fractal by Barry Martin - orbit in two dimensions. 
  810.  
  811. z(0) = y(0) = 0;
  812. x(n+1) = y(n) - sin(x(n))
  813. y(n+1) = a - x(n)
  814.  
  815. Parameter is a (try a value near pi) 
  816.  
  817. Select here for  details. 
  818.  
  819.  
  820. ΓòÉΓòÉΓòÉ 4.46. mandellambda formula ΓòÉΓòÉΓòÉ
  821.  
  822. z(0) = .5; lambda = pixel;
  823. z(n+1) = lambda*z(n)*(1 - z(n)^2).
  824.  
  825. Parameters: real & imaginary perturbations of z(0) 
  826.  
  827. Select here for  details. 
  828.  
  829.  
  830. ΓòÉΓòÉΓòÉ 4.47. manfn+exp formula ΓòÉΓòÉΓòÉ
  831.  
  832. 'Mandelbrot-Equivalent' for the julfn+exp fractal. 
  833.  
  834. z(0) = c = pixel;
  835. z(n+1) = fn(z(n)) + e^z(n) + C.
  836.  
  837. Parameters: real & imaginary perturbations of z(0), and fn 
  838.  
  839. Select here for  details. 
  840.  
  841.  
  842. ΓòÉΓòÉΓòÉ 4.48. manfn+zsqrd formula ΓòÉΓòÉΓòÉ
  843.  
  844. 'Mandelbrot-Equivalent' for the Julfn+zsqrd fractal. 
  845.  
  846. z(0) = c = pixel;
  847. z(n+1) = fn(z(n)) + z(n)^2 + c.
  848.  
  849. Parameters: real & imaginary perturbations of z(0), and fn 
  850.  
  851. Select here for  details. 
  852.  
  853.  
  854. ΓòÉΓòÉΓòÉ 4.49. manowar formula ΓòÉΓòÉΓòÉ
  855.  
  856. c = z1(0) = z(0) = pixel;
  857. z(n+1) = z(n)^2 + z1(n) + c;
  858. z1(n+1) = z(n);
  859.  
  860. Parameters: real & imaginary perturbations of z(0) 
  861.  
  862. Select here for  details. 
  863.  
  864.  
  865. ΓòÉΓòÉΓòÉ 4.50. manowar julia formula ΓòÉΓòÉΓòÉ
  866.  
  867. z1(0) = z(0) = pixel;
  868. z(n+1) = z(n)^2 + z1(n) + c;
  869. z1(n+1) = z(n);
  870.  
  871. Parameters: real & imaginary perturbations of z(0) 
  872.  
  873. Select here for  details. 
  874.  
  875.  
  876. ΓòÉΓòÉΓòÉ 4.51. manzpower formula ΓòÉΓòÉΓòÉ
  877.  
  878. 'Mandelbrot-Equivalent' for julzpower. 
  879.  
  880. z(0) = c = pixel;
  881. z(n+1) = z(n)^exp + c; try exp = e = 2.71828...
  882.  
  883. Parameters: real & imaginary perturbations of z(0), real & imaginary parts of 
  884. exponent exp. 
  885.  
  886. Select here for  details. 
  887.  
  888.  
  889. ΓòÉΓòÉΓòÉ 4.52. manzzpwr formula ΓòÉΓòÉΓòÉ
  890.  
  891. 'Mandelbrot-Equivalent' for the julzzpwr fractal. 
  892.  
  893. z(0) = c = pixel
  894. z(n+1) = z(n)^z(n) + z(n)^exp + C.
  895.  
  896. Parameters: real & imaginary perturbations of z(0), and exponent 
  897.  
  898. Select here for  details. 
  899.  
  900.  
  901. ΓòÉΓòÉΓòÉ 4.53. marksjulia formula ΓòÉΓòÉΓòÉ
  902.  
  903. A variant of the julia-lambda fractal. 
  904.  
  905. z(0) = pixel;
  906. z(n+1) = (c^exp)*z(n) + c.
  907.  
  908. Parameters: real & imaginary parts of c, and exponent 
  909.  
  910. Select here for  details. 
  911.  
  912.  
  913. ΓòÉΓòÉΓòÉ 4.54. marksmandel formula ΓòÉΓòÉΓòÉ
  914.  
  915. A variant of the mandel-lambda fractal. 
  916.  
  917. z(0) = c = pixel;
  918. z(n+1) = (c^exp)*z(n) + c.
  919.  
  920. Parameters: real & imaginary perturbations of z(0), and exponent 
  921.  
  922. Select here for  details. 
  923.  
  924.  
  925. ΓòÉΓòÉΓòÉ 4.55. marksmandelpwr formula ΓòÉΓòÉΓòÉ
  926.  
  927. The marksmandelpwr formula type generalized (it previously had fn=sqr hard 
  928. coded). 
  929.  
  930. z(0) = pixel, c = z(0) ^ (z(0) - 1):
  931. z(n+1) = c * fn(z(n)) + pixel,
  932.  
  933. Parameters: real and imaginary pertubations of z(0), and fn 
  934.  
  935. Select here for  details. 
  936.  
  937.  
  938. ΓòÉΓòÉΓòÉ 4.56. newtbasin formula ΓòÉΓòÉΓòÉ
  939.  
  940. Based on the Newton formula for finding the roots of z^p - 1. Pixels are 
  941. colored according to which root captures the orbit. 
  942.  
  943. z(0) = pixel;
  944. z(n+1) = ((p-1)*z(n)^p + 1)/(p*z(n)^(p - 1)).
  945.  
  946. Two parameters: the polynomial degree p, and a flag to turn on color stripes to 
  947. show alternate iterations. 
  948.  
  949. Select here for  details. 
  950.  
  951.  
  952. ΓòÉΓòÉΓòÉ 4.57. newton formula ΓòÉΓòÉΓòÉ
  953.  
  954. Based on the Newton formula for finding the roots of z^p - 1. Pixels are 
  955. colored according to the iteration when the orbit is captured by a root. 
  956.  
  957. z(0) = pixel;
  958. z(n+1) = ((p-1)*z(n)^p + 1)/(p*z(n)^(p - 1)).
  959.  
  960. One parameter: the polynomial degree p. 
  961.  
  962. Select here for  details. 
  963.  
  964.  
  965. ΓòÉΓòÉΓòÉ 4.58. pickover formula ΓòÉΓòÉΓòÉ
  966.  
  967. Orbit in three dimensions defined by: 
  968.  
  969. x(n+1) = sin(a*y(n)) - z(n)*cos(b*x(n))
  970. y(n+1) = z(n)*sin(c*x(n)) - cos(d*y(n))
  971. z(n+1) = sin(x(n))
  972.  
  973. Parameters: a, b, c, and d. 
  974.  
  975. Select here for  details. 
  976.  
  977.  
  978. ΓòÉΓòÉΓòÉ 4.59. plasma formula ΓòÉΓòÉΓòÉ
  979.  
  980. Random, cloud-like formations.  Requires 4 or more colors. A recursive 
  981. algorithm repeatedly subdivides the screen and colors pixels according to an 
  982. average of surrounding pixels and a random color, less random as the grid size 
  983. decreases. 
  984.  
  985. One parameter: 'graininess' (.5 to 50, default = 2). 
  986.  
  987. Select here for  details. 
  988.  
  989.  
  990. ΓòÉΓòÉΓòÉ 4.60. popcorn formula ΓòÉΓòÉΓòÉ
  991.  
  992. The orbits in two dimensions defined by: 
  993.  
  994. x(0) = xpixel, y(0) = ypixel;
  995. x(n+1) = x(n) - h*sin(y(n) + tan(3*y(n))
  996. y(n+1) = y(n) - h*sin(x(n) + tan(3*x(n))
  997.  
  998. are plotted for each screen pixel and superimposed. 
  999.  
  1000. One parameter: step size h. 
  1001.  
  1002. Select here for  details. 
  1003.  
  1004.  
  1005. ΓòÉΓòÉΓòÉ 4.61. popcornjul formula ΓòÉΓòÉΓòÉ
  1006.  
  1007. Conventional Julia using the popcorn formula: 
  1008.  
  1009. x(0) = xpixel, y(0) = ypixel;
  1010. x(n+1) = x(n) - h*sin(y(n) + tan(3*y(n))
  1011. y(n+1) = y(n) - h*sin(x(n) + tan(3*x(n))
  1012.  
  1013. One parameter: step size h. 
  1014.  
  1015. Select here for  details. 
  1016.  
  1017.  
  1018. ΓòÉΓòÉΓòÉ 4.62. rossler3D formula ΓòÉΓòÉΓòÉ
  1019.  
  1020. Orbit in three dimensions defined by: 
  1021.  
  1022. x(0) = y(0) = z(0) = 1;
  1023. x(n+1) = x(n) - y(n)*dt -   z(n)*dt
  1024. y(n+1) = y(n) + x(n)*dt + a*y(n)*dt
  1025. z(n+1) = z(n) + b*dt + x(n)*z(n)*dt - c*z(n)*dt
  1026.  
  1027. Parameters are dt, a, b, and c. 
  1028.  
  1029. Select here for  details. 
  1030.  
  1031.  
  1032. ΓòÉΓòÉΓòÉ 4.63. sierpinski formula ΓòÉΓòÉΓòÉ
  1033.  
  1034. Sierpinski gasket - Julia set producing a 'Swiss cheese triangle' 
  1035.  
  1036. z(n+1) = (2*x,2*y-1) if y > .5;
  1037.     else (2*x-1,2*y) if x > .5;
  1038.     else (2*x,2*y)
  1039.  
  1040. No parameters. 
  1041.  
  1042. Select here for  details. 
  1043.  
  1044.  
  1045. ΓòÉΓòÉΓòÉ 4.64. spider formula ΓòÉΓòÉΓòÉ
  1046.  
  1047. c(0) = z(0) = pixel;
  1048. z(n+1) = z(n)^2 + c(n);
  1049. c(n+1) = c(n)/2 + z(n+1)
  1050.  
  1051. Parameters: real & imaginary perturbation of z(0) 
  1052.  
  1053. Select here for  details. 
  1054.  
  1055.  
  1056. ΓòÉΓòÉΓòÉ 4.65. sqr(1/fn) formula ΓòÉΓòÉΓòÉ
  1057.  
  1058. z(0) = pixel;
  1059. z(n+1) = (1/fn(z(n))^2
  1060.  
  1061. One parameter: the function fn. 
  1062.  
  1063. Select here for  details. 
  1064.  
  1065.  
  1066. ΓòÉΓòÉΓòÉ 4.66. sqr(fn) formula ΓòÉΓòÉΓòÉ
  1067.  
  1068. z(0) = pixel;
  1069. z(n+1) = fn(z(n))^2
  1070.  
  1071. One parameter: the function fn. 
  1072.  
  1073. Select here for  details. 
  1074.  
  1075.  
  1076. ΓòÉΓòÉΓòÉ 4.67. test formula ΓòÉΓòÉΓòÉ
  1077.  
  1078. 'test' point letting us (and you!) easily add fractal types via the c module 
  1079. testpt.c.  Default set up is a mandelbrot fractal. 
  1080.  
  1081. Four parameters: user hooks (not used by default testpt.c). 
  1082.  
  1083. Select here for  details. 
  1084.  
  1085.  
  1086. ΓòÉΓòÉΓòÉ 4.68. tetrate formula ΓòÉΓòÉΓòÉ
  1087.  
  1088. z(0) = c = pixel;
  1089. z(n+1) = c^z(n)
  1090.  
  1091. Parameters: real & imaginary perturbation of z(0) 
  1092.  
  1093. Select here for  details. 
  1094.  
  1095.  
  1096. ΓòÉΓòÉΓòÉ 4.69. tim's error formula ΓòÉΓòÉΓòÉ
  1097.  
  1098. A serendipitous coding error in marksmandelpwr brings to life an ancient 
  1099. pterodactyl!  (Try setting fn to sqr.) 
  1100.  
  1101. z(0) = pixel, c = z(0) ^ (z(0) - 1):
  1102. tmp = fn(z(n))
  1103. real(tmp) = real(tmp) * real(c) - imag(tmp) * imag(c);
  1104. imag(tmp) = real(tmp) * imag(c) - imag(tmp) * real(c);
  1105. z(n+1) = tmp + pixel;
  1106.  
  1107. Parameters: real & imaginary pertubations of z(0) and function fn 
  1108.  
  1109. Select here for  details. 
  1110.  
  1111.  
  1112. ΓòÉΓòÉΓòÉ 4.70. unity formula. ΓòÉΓòÉΓòÉ
  1113.  
  1114. z(0) = pixel;
  1115. x = real(z(n)), y = imag(z(n))
  1116. One = x^2 + y^2;
  1117. y = (2 - One) * x;
  1118. x = (2 - One) * y;
  1119. z(n+1) = x + i*y
  1120.  
  1121. No parameters. 
  1122.  
  1123. Select here for  details. 
  1124.  
  1125.  
  1126. ΓòÉΓòÉΓòÉ 5. Fractal Types ΓòÉΓòÉΓòÉ
  1127.  
  1128. Overview 
  1129.  
  1130. Fractint starts by default with the Mandelbrot set. You can change that by 
  1131. using the command-line argument "TYPE=" followed by one of the fractal type 
  1132. names, or by using the <T> command and selecting the type - if parameters are 
  1133. needed, you will be prompted for them. 
  1134.  
  1135. In the text that follows, due to the limitations of the ASCII character set, 
  1136. "a*b" means "a times b", and "a^b" means "a to the power b". 
  1137.  
  1138. Select a fractal type for details: 
  1139.  
  1140.  The Mandelbrot Set 
  1141.  
  1142.  Julia Sets 
  1143.  
  1144.  Newton domains of attraction 
  1145.  
  1146.  Newton 
  1147.  
  1148.  Complex Newton 
  1149.  
  1150.  Lambda Sets 
  1151.  
  1152.  Mandellambda Sets 
  1153.  
  1154.  Plasma Clouds 
  1155.  
  1156.  Lambdafn 
  1157.  
  1158.  Mandelfn 
  1159.  
  1160.  Barnsley Mandelbrot/Julia Sets 
  1161.  
  1162.  Barnsley IFS Fractals 
  1163.  
  1164.  Sierpinski Gasket 
  1165.  
  1166.  Quartic Mandelbrot/Julia 
  1167.  
  1168.  Distance Estimator 
  1169.  
  1170.  Pickover Mandelbrot/Julia Types 
  1171.  
  1172.  Pickover Popcorn 
  1173.  
  1174.  Peterson Variations 
  1175.  
  1176.  Unity 
  1177.  
  1178.  Scott Taylor / Lee Skinner Variations 
  1179.  
  1180.  Kam Torus 
  1181.  
  1182.  Bifurcation 
  1183.  
  1184.  Orbit Fractals 
  1185.  
  1186.  Lorenz Attractors 
  1187.  
  1188.  Rossler Attractors 
  1189.  
  1190.  Henon Attractors 
  1191.  
  1192.  Pickover Attractors 
  1193.  
  1194.  Gingerbreadman 
  1195.  
  1196.  Test 
  1197.  
  1198.  Formula 
  1199.  
  1200.  Julibrots 
  1201.  
  1202.  Diffusion Limited Aggregation 
  1203.  
  1204.  Magnetic Fractals 
  1205.  
  1206.  L-Systems 
  1207.  
  1208.  Lyapunov 
  1209.  
  1210.  Circle 
  1211.  
  1212.  Martin Attractors 
  1213.  
  1214.  
  1215. ΓòÉΓòÉΓòÉ 5.1. The Mandelbrot Set ΓòÉΓòÉΓòÉ
  1216.  
  1217. (type=mandel) 
  1218.  
  1219. This set is the classic: the only one implemented in many plotting programs, 
  1220. and the source of most of the printed fractal images published in recent years. 
  1221. Like most of the other types in Fractint, it is simply a graph: the x 
  1222. (horizontal) and y (vertical) coordinate axes represent ranges of two 
  1223. independent quantities, with various colors used to symbolize levels of a third 
  1224. quantity which depends on the first two. So far, so good: basic analytic 
  1225. geometry. 
  1226.  
  1227. Now things get a bit hairier. The x axis is ordinary, vanilla real numbers. The 
  1228. y axis is an imaginary number, i.e. a real number times i, where i is the 
  1229. square root of -1. Every point on the plane -- in this case, your PC's display 
  1230. screen -- represents a complex number of the form: 
  1231.  
  1232.   x-coordinate + i * y-coordinate
  1233.  
  1234. If your math training stopped before you got to imaginary and complex numbers, 
  1235. this is not the place to catch up. Suffice it to say that they are just as 
  1236. "real" as the numbers you count fingers with (they're used every day by 
  1237. electrical engineers) and they can undergo the same kinds of algebraic 
  1238. operations. 
  1239.  
  1240. OK, now pick any complex number -- any point on the complex plane -- and call 
  1241. it C, a constant. Pick another, this time one which can vary, and call it Z. 
  1242. Starting with Z=0 (i.e., at the origin, where the real and imaginary axes 
  1243. cross), calculate the value of the expression 
  1244.  
  1245.   Z^2 + C
  1246.  
  1247. Take the result, make it the new value of the variable Z, and calculate again. 
  1248. Take that result, make it Z, and do it again, and so on: in mathematical terms, 
  1249. iterate the function Z(n+1) = Z(n)^2 + C. For certain values of C, the result 
  1250. "levels off" after a while. For all others, it grows without limit. The 
  1251. Mandelbrot set you see at the start -- the solid- colored lake (blue by 
  1252. default), the blue circles sprouting from it, and indeed every point of that 
  1253. color -- is the set of all points C for which the value of Z is less than 2 
  1254. after 150 iterations (150 is the default setting, changeable via the <X> 
  1255. options screen or "maxiter=" parameter). All the surrounding "contours" of 
  1256. other colors represent points for which Z exceeds 2 after 149 iterations (the 
  1257. contour closest to the M-set itself), 148 iterations, (the next one out), and 
  1258. so on. 
  1259.  
  1260. We actually don't test for Z exceeding 2 - we test Z squared against 4 instead 
  1261. because it is easier.  This value (FOUR usually) is known as the "bailout" 
  1262. value for the calculation, because we stop iterating for the point when it is 
  1263. reached.  The bailout value can be changed on the <Z> options screen but the 
  1264. default is usually best. 
  1265.  
  1266. Some features of interest: 
  1267.  
  1268.  1. Use the <X> options screen to increase the maximum number of iterations. 
  1269.     Notice that the boundary of the M-set becomes more and more convoluted (the 
  1270.     technical terms are "wiggly," "squiggly," and "utterly bizarre") as the Z- 
  1271.     values for points that were still within the set after 150 iterations turn 
  1272.     out to exceed 2 after 200, 500, or 1200. In fact, it can be proven that the 
  1273.     true boundary is infinitely long: detail without limit. 
  1274.  
  1275.  2. Although there appear to be isolated "islands" of blue, zoom in -- that is, 
  1276.     plot for a smaller range of coordinates to show more detail -- and you'll 
  1277.     see that there are fine "causeways" of blue connecting them to the main 
  1278.     set. As you zoomed, smaller islands became visible; the same is true for 
  1279.     them. In fact, there are no isolated points in the M-set: it is "connected" 
  1280.     in a strict mathematical sense. 
  1281.  
  1282.  3. The upper and lower halves of the first image are symmetric (a fact that 
  1283.     Fractint makes use of here and in some other fractal types to speed 
  1284.     plotting). But notice that the same general features -- lobed discs, 
  1285.     spirals, starbursts -- tend to repeat themselves (although never exactly) 
  1286.     at smaller and smaller scales, so that it can be impossible to judge by eye 
  1287.     the scale of a given image. 
  1288.  
  1289.  4. In a sense, the contour colors are window-dressing: mathematically, it is 
  1290.     the properties of the M-set itself that are interesting, and no information 
  1291.     about it would be lost if all points outside the set were assigned the same 
  1292.     color. If you're a serious, no-nonsense type, you may want to cycle the 
  1293.     colors just once to see the kind of silliness that other people enjoy, and 
  1294.     then never do it again. Go ahead. Just once, now. We trust you. 
  1295.  
  1296. Select below for details of the formula. 
  1297.  
  1298.  mandel formula 
  1299.  
  1300.  
  1301. ΓòÉΓòÉΓòÉ 5.2. Julia Sets ΓòÉΓòÉΓòÉ
  1302.  
  1303. (type=julia) 
  1304.  
  1305. These sets were named for mathematician Gaston Julia, and can be generated by a 
  1306. simple change in the iteration process described for the  Mandelbrot Set. Start 
  1307. with a specified value of C, "C-real + i * C-imaginary"; use as the initial 
  1308. value of Z "x-coordinate + i * y-coordinate"; and repeat the same iteration, 
  1309. Z(n+1) = Z(n)^2 + C. 
  1310.  
  1311. There is a Julia set corresponding to every point on the complex plane -- an 
  1312. infinite number of Julia sets. But the most visually interesting tend to be 
  1313. found for the same C values where the M-set image is busiest, i.e. points just 
  1314. outside the boundary. Go too far inside, and the corresponding Julia set is a 
  1315. circle; go too far outside, and it breaks up into scattered points. In fact, 
  1316. all Julia sets for C within the M-set share the "connected" property of the 
  1317. M-set, and all those for C outside lack it. 
  1318.  
  1319. Fractint's spacebar toggle lets you "flip" between any view of the M-set and 
  1320. the Julia set for the point C at the center of that screen. You can then toggle 
  1321. back, or zoom your way into the Julia set for a while and then return to the 
  1322. M-set. So if the infinite complexity of the M-set palls, remember: each of its 
  1323. infinite points opens up a whole new Julia set. 
  1324.  
  1325. Historically, the Julia sets came first: it was while looking at the M-set as 
  1326. an "index" of all the Julia sets' origins that Mandelbrot noticed its 
  1327. properties. 
  1328.  
  1329. The relationship between the  Mandelbrot set and Julia set can hold between 
  1330. other sets as well.  Many of Fractint's types are "Mandelbrot/Julia" pairs 
  1331. (sometimes called "M-sets" or "J-sets". All these are generated by equations 
  1332. that are of the form z(k+1) = f(z(k),c), where the function orbit is the 
  1333. sequence z(0), z(1), ..., and the variable c is a complex parameter of the 
  1334. equation. The value c is fixed for "Julia" sets and is equal to the first two 
  1335. parameters entered with the "params=Creal/Cimag" command. The initial orbit 
  1336. value z(0) is the complex number corresponding to the screen pixel. For 
  1337. Mandelbrot sets, the parameter c is the complex number corresponding to the 
  1338. screen pixel. The value z(0) is c plus a perturbation equal to the values of 
  1339. the first two parameters.  See the discussion of  Mandellambda Sets. This 
  1340. approach may or may not be the "standard" way to create "Mandelbrot" sets out 
  1341. of "Julia" sets. 
  1342.  
  1343. Some equations have additional parameters.  These values is entered as the 
  1344. third for fourth params= value for both Julia and Mandelbrot sets. The 
  1345. variables x and y refer to the real and imaginary parts of z; similarly, cx and 
  1346. cy are the real and imaginary parts of the parameter c and fx(z) and fy(z) are 
  1347. the real and imaginary parts of f(z). The variable c is sometimes called lambda 
  1348. for historical reasons. 
  1349.  
  1350. Note:  If you use the "PARAMS=" argument to warp the M-set by starting with an 
  1351. initial value of Z other than 0, the M-set/J-sets correspondence breaks down 
  1352. and the spacebar toggle no longer works. 
  1353.  
  1354. Select below for details of the formula. 
  1355.  
  1356.  julia formula 
  1357.  
  1358.  
  1359. ΓòÉΓòÉΓòÉ 5.3. Newton domains of attraction ΓòÉΓòÉΓòÉ
  1360.  
  1361. (type=newtbasin) 
  1362.  
  1363. The Newton formula is an algorithm used to find the roots of polynomial 
  1364. equations by successive "guesses" that converge on the correct value as you 
  1365. feed the results of each approximation back into the formula. It works very 
  1366. well -- unless you are unlucky enough to pick a value that is on a line between 
  1367. two actual roots. In that case, the sequence explodes into chaos, with results 
  1368. that diverge more and more wildly as you continue the iteration. 
  1369.  
  1370. This fractal type shows the results for the polynomial Z^n - 1, which has n 
  1371. roots in the complex plane. Use the <T>ype command and enter "newtbasin" in 
  1372. response to the prompt. You will be asked for a parameter, the "order" of the 
  1373. equation (an integer from 3 through 10 -- 3 for x^3-1, 7 for x^7-1, etc.). A 
  1374. second parameter is a flag to turn on alternating shades showing changes in the 
  1375. number of iterations needed to attract an orbit. Some people like stripes and 
  1376. some don't, as always, Fractint gives you a choice! 
  1377.  
  1378. The coloring of the plot shows the "basins of attraction" for each root of the 
  1379. polynomial -- i.e., an initial guess within any area of a given color would 
  1380. lead you to one of the roots. As you can see, things get a bit weird along 
  1381. certain radial lines or "spokes," those being the lines between actual roots. 
  1382. By "weird," we mean infinitely complex in the good old fractal sense. Zoom in 
  1383. and see for yourself. 
  1384.  
  1385. This fractal type is symmetric about the origin, with the number of "spokes" 
  1386. depending on the order you select. It uses floating-point math if you have an 
  1387. FPU, or a somewhat slower integer algorithm if you don't have one. 
  1388.  
  1389. Select below for details of the formula. 
  1390.  
  1391.  newtbasin formula 
  1392.  
  1393. See also:  Newton 
  1394.  
  1395.  
  1396. ΓòÉΓòÉΓòÉ 5.4. Newton ΓòÉΓòÉΓòÉ
  1397.  
  1398. (type=newton) 
  1399.  
  1400. The generating formula here is identical to that for  newtbasin, but the 
  1401. coloring scheme is different. Pixels are colored not according to the root that 
  1402. would be "converged on" if you started using Newton's formula from that point, 
  1403. but according to the iteration when the value is close to a root.  For example, 
  1404. if the calculations for a particular pixel converge to the seventh root on the 
  1405. twenty-third iteration, NEWTBASIN will color that pixel using color #7, but 
  1406. NEWTON will color it using color #23. 
  1407.  
  1408. If you have a 256-color mode, use it: the effects can be much livelier than 
  1409. those you get with type=newtbasin, and color cycling becomes, like, downright 
  1410. cosmic. If your "corners" choice is symmetrical, Fractint exploits the symmetry 
  1411. for faster display. There is symmetry in newtbasin, too, but the current 
  1412. version of the software isn't smart enough to exploit it. 
  1413.  
  1414. The applicable "params=" values are the same as newtbasin. Try "params=4." 
  1415. Other values are 3 through 10. 8 has twice the symmetry and is faster. As with 
  1416. newtbasin, an FPU helps. 
  1417.  
  1418. Select below for details of the formula. 
  1419.  
  1420.  newton formula 
  1421.  
  1422.  
  1423. ΓòÉΓòÉΓòÉ 5.5. Complex Newton ΓòÉΓòÉΓòÉ
  1424.  
  1425. (type=complexnewton/complexbasin) 
  1426.  
  1427. Well, hey, "Z^n - 1" is so boring when you can use "Z^a - b" where "a" and "b" 
  1428. are complex numbers!  The new "complexnewton" and "complexbasin" fractal types 
  1429. are just the old  "newton" and  "newtbasin" fractal types with this little 
  1430. added twist.  When you select these fractal types, you are prompted for four 
  1431. values (the real and imaginary portions of "a" and "b"). If "a" has a complex 
  1432. portion, the fractal has a discontinuity along the negative axis - relax, we 
  1433. finally figured out that it's *supposed* to be there! 
  1434.  
  1435. Select below for details of the formula. 
  1436.  
  1437.  complexnewton and complexbasin formula 
  1438.  
  1439.  
  1440. ΓòÉΓòÉΓòÉ 5.6. Lambda Sets ΓòÉΓòÉΓòÉ
  1441.  
  1442. (type=lambda) 
  1443.  
  1444. This type calculates the Julia set of the formula lambda*Z*(1-Z). That is, the 
  1445. value Z[0] is initialized with the value corresponding to each pixel position, 
  1446. and the formula iterated. The pixel is colored according to the iteration when 
  1447. the sum of the squares of the real and imaginary parts exceeds 4. 
  1448.  
  1449. Two parameters, the real and imaginary parts of lambda, are required. Try 0 and 
  1450. 1 to see the classical fractal "dragon". Then try 0.2 and 1 for a lot more 
  1451. detail to zoom in on. 
  1452.  
  1453. It turns out that all quadratic Julia-type sets can be calculated using just 
  1454. the formula z^2+c (the "classic" Julia"), so that this type is redundant, but 
  1455. we include it for reason of it's prominence in the history of fractals. 
  1456.  
  1457. Select below for details of the formula. 
  1458.  
  1459.  lambda formula 
  1460.  
  1461.  
  1462. ΓòÉΓòÉΓòÉ 5.7. Mandellambda Sets ΓòÉΓòÉΓòÉ
  1463.  
  1464. (type=mandellambda) 
  1465.  
  1466. This type is the "Mandelbrot equivalent" of the  lambda set. A comment is in 
  1467. order here. Almost all the Fractint "Mandelbrot" sets are created from orbits 
  1468. generated using formulas like z(n+1) = f(z(n),C), with z(0) and C initialized 
  1469. to the complex value corresponding to the current pixel. Our reasoning was that 
  1470. "Mandelbrots" are maps of the corresponding "Julias". Using this scheme each 
  1471. pixel of a "Mandelbrot" is colored the same as the Julia set corresponding to 
  1472. that pixel. However, Kevin Allen informs us that the MANDELLAMBDA set appears 
  1473. in the literature with z(0) initialized to a critical point (a point where the 
  1474. derivative of the formula is zero), which in this case happens to be the point 
  1475. (.5,0). Since Kevin knows more about Dr. Mandelbrot than we do, and Dr. 
  1476. Mandelbrot knows more about fractals than we do, we defer! Starting with 
  1477. version 14 Fractint calculates MANDELAMBDA Dr. Mandelbrot's way instead of our 
  1478. way. But ALL THE OTHER "Mandelbrot" sets in Fractint are still calculated OUR 
  1479. way! (Fortunately for us, for the classic Mandelbrot Set these two methods are 
  1480. the same!) 
  1481.  
  1482. Well now, folks, apart from questions of faithfulness to fractals named in the 
  1483. literature (which we DO take seriously!), if a formula makes a beautiful 
  1484. fractal, it is not wrong. In fact some of the best fractals in Fractint are the 
  1485. results of mistakes! Nevertheless, thanks to Kevin for keeping us accurate! 
  1486.  
  1487. (See description of "initorbit=" command in {Image Calculation Parameters} for 
  1488. a way to experiment with different orbit intializations). 
  1489.  
  1490. Select below for details of the formula. 
  1491.  
  1492.  mandellambda formula 
  1493.  
  1494.  
  1495. ΓòÉΓòÉΓòÉ 5.8. Circle ΓòÉΓòÉΓòÉ
  1496.  
  1497. (type=circle) 
  1498.  
  1499. This fractal types is from A. K. Dewdney's "Computer Recreations" column in 
  1500. "Scientific American". It is attributed to John Connett of the University of 
  1501. Minnesota. 
  1502.  
  1503. (Don't tell anyone, but this fractal type is not really a fractal!) 
  1504.  
  1505. Fascinating Moire patterns can be formed by calculating x^2 + y^2 for each 
  1506. pixel in a piece of the complex plane. After multiplication by a magnification 
  1507. factor (the parameter), the number is truncated to an integer and mapped to a 
  1508. color via color = value modulo (number of colors). That is, the integer is 
  1509. divided by the number of colors, and the remainder is the color index value 
  1510. used.  The resulting image is not a fractal because all detail is lost after 
  1511. zooming in too far. Try it with different resolution video modes - the results 
  1512. may surprise you! 
  1513.  
  1514. Select below for details of the formula. 
  1515.  
  1516.  circle formula 
  1517.  
  1518.  
  1519. ΓòÉΓòÉΓòÉ 5.9. Plasma Clouds ΓòÉΓòÉΓòÉ
  1520.  
  1521. (type=plasma) 
  1522.  
  1523. Plasma clouds ARE real live fractals, even though we didn't know it at first. 
  1524. They are generated by a recursive algorithm that randomly picks colors of the 
  1525. corner of a rectangle, and then continues recursively quartering previous 
  1526. rectangles. Random colors are averaged with those of the outer rectangles so 
  1527. that small neighborhoods do not show much change, for a smoothed-out, 
  1528. cloud-like effect. The more colors your video mode supports, the better.  The 
  1529. result, believe it or not, is a fractal landscape viewed as a contour map, with 
  1530. colors indicating constant elevation.  To see this, save and view with the <3> 
  1531. command (see {\"3D\" Images}) and your "cloud" will be converted to a mountain! 
  1532.  
  1533. You've GOT to try color cycling on these (hit "+" or "-"). If you haven't been 
  1534. hypnotized by the drawing process, the writhing colors will do it for sure. We 
  1535. have now implemented subliminal messages to exploit the user's vulnerable 
  1536. state; their content varies with your bank balance, politics, gender, 
  1537. accessibility to a Fractint programmer, and so on. A free copy of Microsoft C 
  1538. to the first person who spots them. 
  1539.  
  1540. This type accepts a single parameter, which determines how abruptly the colors 
  1541. change. A value of .5 yields bland clouds, while 50 yields very grainy ones. 
  1542. The default value is 2. Zooming is ignored, as each plasma- cloud screen is 
  1543. generated randomly. 
  1544.  
  1545. The random number seed used for each plasma image is displayed on the <tab> 
  1546. information screen, and can be entered with the command line parameter "rseed=" 
  1547. to recreate a particular image. 
  1548.  
  1549. The algorithm is based on the Pascal program distributed by Bret Mulvey as 
  1550. PLASMA.ARC. We have ported it to C and integrated it with Fractint's graphics 
  1551. and animation facilities. This implementation does not use floating-point math. 
  1552.  
  1553. Saved plasma-cloud screens are EXCELLENT starting images for fractal 
  1554. "landscapes" created with the {\"3D\" commands}. 
  1555.  
  1556. Select below for details of the formula. 
  1557.  
  1558.  plasma formula 
  1559.  
  1560.  
  1561. ΓòÉΓòÉΓòÉ 5.10. Lambdafn ΓòÉΓòÉΓòÉ
  1562.  
  1563. (type=lambdafn) 
  1564.  
  1565. Function=[sin|cos|sinh|cosh|exp|log|sqr|...]) is specified with this type. 
  1566. Prior to version 14, these types were lambdasine, lambdacos, lambdasinh, 
  1567. lambdacos, and lambdaexp.  Where we say "lambdasine" or some such below, the 
  1568. good reader knows we mean "lambdafn with function=sin".) 
  1569.  
  1570. These types calculate the Julia set of the formula lambda*fn(Z), for various 
  1571. values of the function "fn", where lambda and Z are both complex. Two values, 
  1572. the real and imaginary parts of lambda, should be given in the "params=" 
  1573. option.  For the feathery, nested spirals of LambdaSines and the frost-on-glass 
  1574. patterns of LambdaCosines, make the real part = 1, and try values for the 
  1575. imaginary part ranging from 0.1 to 0.4 (hint: values near 0.4 have the best 
  1576. patterns). In these ranges the Julia set "explodes". For the tongues and blobs 
  1577. of LambdaExponents, try a real part of 0.379 and an imaginary part of 0.479. 
  1578.  
  1579. A co-processor used to be almost mandatory: each LambdaSine/Cosine iteration 
  1580. calculates a hyperbolic sine, hyperbolic cosine, a sine, and a cosine (the 
  1581. LambdaExponent iteration "only" requires an exponent, sine, and cosine 
  1582. operation)!  However, Fractint now computes these transcendental functions with 
  1583. fast integer math. In a few cases the fast math is less accurate, so we have 
  1584. kept the old slow floating point code. To use the old code, invoke with the 
  1585. float=yes option, and, if you DON'T have a co-processor, go on a LONG vacation! 
  1586.  
  1587. Select below for details of the formula. 
  1588.  
  1589.  lambdafn formula 
  1590.  
  1591.  
  1592. ΓòÉΓòÉΓòÉ 5.11. Mandelfn ΓòÉΓòÉΓòÉ
  1593.  
  1594. (type=mandelfn) 
  1595.  
  1596. Function=[sin|cos|sinh|cosh|exp|log|sqr|...]) is specified with this type. 
  1597. Prior to version 14, these types were mandelsine, mandelcos, mandelsinh, 
  1598. mandelcos, and mandelexp. Same comment about our lapses into the old 
  1599. terminology as above! 
  1600.  
  1601. These are "pseudo-Mandelbrot" mappings for the  LambdaFn Julia functions. They 
  1602. map to their corresponding Julia sets via the spacebar command in exactly the 
  1603. same fashion as the original M/J sets.  In general, they are interesting mainly 
  1604. because of that property (the function=exp set in particular is rather boring). 
  1605. Generate the appropriate "Mandelfn" set, zoom on a likely spot where the colors 
  1606. are changing rapidly, and hit the spacebar key to plot the Julia set for that 
  1607. particular point. 
  1608.  
  1609. Try "PMFRACT TYPE=MANDELFN CORNERS=4.68/4.76/-.03/.03 FUNCTION=COS" for a 
  1610. graphic demonstration that we're not taking Mandelbrot's name in vain here. We 
  1611. didn't even know these little buggers were here until Mark Peterson found this 
  1612. a few hours before the version incorporating Mandelfns was released. 
  1613.  
  1614. Note:  If you created images using the lambda or mandel "fn" types prior to 
  1615. version 14, and you wish to update the fractal information in the "*.fra" file, 
  1616. simply read the files and save again. You can do this in batch mode via a 
  1617. command line like: 
  1618.  
  1619.    "fractint oldfile.fra savename=newfile.gif batch=yes"
  1620.  
  1621. For example, this procedure can convert a version 13 "type=lambdasine" image to 
  1622. a version 14 "type=lambdafn function=sin" GIF89a image.  We do not promise to 
  1623. keep this "backward compatibility" past version 14 - if you want to keep the 
  1624. fractal information in your *.fra files accurate, we recommend conversion.  See 
  1625. GIF Save File Format. 
  1626.  
  1627. Select below for details of the formula. 
  1628.  
  1629.  mandelfn formula 
  1630.  
  1631.  
  1632. ΓòÉΓòÉΓòÉ 5.12. Barnsley Mandelbrot/Julia Sets ΓòÉΓòÉΓòÉ
  1633.  
  1634. (type=barnsleym1/.../j3) 
  1635.  
  1636. Michael Barnsley has written a fascinating college-level text, "Fractals 
  1637. Everywhere," on fractal geometry and its graphic applications. (See 
  1638. Bibliography.) In it, he applies the principle of the M and J sets to more 
  1639. general functions of two complex variables. 
  1640.  
  1641. We have incorporated three of Barnsley's examples in Fractint. Their appearance 
  1642. suggests polarized-light microphotographs of minerals, with patterns that are 
  1643. less organic and more crystalline than those of the M/J sets. Each example has 
  1644. both a "Mandelbrot" and a "Julia" type. Toggle between them using the spacebar. 
  1645.  
  1646. The parameters have the same meaning as they do for the "regular" Mandelbrot 
  1647. and Julia. For types M1, M2, and M3, they are used to "warp" the image by 
  1648. setting the initial value of Z. For the types J1 through J3, they are the 
  1649. values of C in the generating formulas. 
  1650.  
  1651. Be sure to try the <O>rbit function while plotting these types. 
  1652.  
  1653. Select below for details on each formula. 
  1654.  
  1655.  barnsleyj1 formula 
  1656.  
  1657.  barnsleyj2 formula 
  1658.  
  1659.  barnsleyj3 formula 
  1660.  
  1661.  barnsleym1 formula 
  1662.  
  1663.  barnsleym2 formula 
  1664.  
  1665.  barnsleym3 formula 
  1666.  
  1667.  
  1668. ΓòÉΓòÉΓòÉ 5.13. Barnsley IFS Fractals ΓòÉΓòÉΓòÉ
  1669.  
  1670. (type=ifs) 
  1671.  
  1672. One of the most remarkable spin-offs of fractal geometry is the ability to 
  1673. "encode" realistic images in very small sets of numbers -- parameters for a set 
  1674. of functions that map a region of two-dimensional space onto itself. In 
  1675. principle (and increasingly in practice), a scene of any level of complexity 
  1676. and detail can be stored as a handful of numbers, achieving amazing 
  1677. "compression" ratios... how about a super-VGA image of a forest, more than 
  1678. 300,000 pixels at eight bits apiece, from a 1-KB "seed" file? 
  1679.  
  1680. Again, Michael Barnsley and his co-workers at the Georgia Institute of 
  1681. Technology are to be thanked for pushing the development of these iterated 
  1682. function systems (IFS). 
  1683.  
  1684. When you select this fractal type, Fractint scans the current IFS file (default 
  1685. is FRACTINT.IFS, a set of definitions supplied with Fractint) for IFS 
  1686. definitions, then prompts you for the IFS name you wish to run. Fern and 3dfern 
  1687. are good ones to start with. You can press <F6> at the selection screen if you 
  1688. want to select a different .IFS file you've written. 
  1689.  
  1690. Note that some Barnsley IFS values generate images quite a bit smaller than the 
  1691. initial (default) screen. Just bring up the zoom box, center it on the small 
  1692. image, and hit <Enter> to get a full-screen image. 
  1693.  
  1694. To change the number of dots Fractint generates for an IFS image before 
  1695. stopping, you can change the "maximum iterations" parameter on the <X> options 
  1696. screen. 
  1697.  
  1698. Fractint supports two types of IFS images: 2D and 3D. In order to fully 
  1699. appreciate 3D IFS images, since your monitor is presumably 2D, we have added 
  1700. rotation, translation, and perspective capabilities. These share values with 
  1701. the same variables used in Fractint's other 3D facilities; for their meaning 
  1702. see {"Rectangular Coordinate Transformation"}. You can enter these values from 
  1703. the command line using: 
  1704.  
  1705. rotation=xrot/yrot/zrot       (try 30/30/30)
  1706. shift=xshift/yshift           (shifts BEFORE applying perspective!)
  1707. perspective=viewerposition    (try 200)
  1708.  
  1709. Alternatively, entering <I> from main screen will allow you to modify these 
  1710. values. The defaults are the same as for regular 3D, and are not always optimum 
  1711. for 3D IFS. With the 3dfern IFS type, try rotation=30/30/30. Note that applying 
  1712. shift when using perspective changes the picture -- your "point of view" is 
  1713. moved. 
  1714.  
  1715. A truly wild variation of 3D may be seen by entering "2" for the stereo mode 
  1716. (see {"Stereo 3D Viewing"}), putting on red/blue "funny glasses", and watching 
  1717. the fern develop with full depth perception right there before your eyes! 
  1718.  
  1719. This feature USED to be dedicated to Bruce Goren, as a bribe to get him to send 
  1720. us MORE knockout stereo slides of 3D ferns, now that we have made it so easy! 
  1721. Bruce, what have you done for us *LATELY* ?? (Just kidding, really!) 
  1722.  
  1723. Each line in an IFS definition (look at FRACTINT.IFS with your editor for 
  1724. examples) contains the parameters for one of the generating functions, e.g. in 
  1725. FERN: 
  1726.  
  1727.    a    b     c    d    e    f    p
  1728.  ___________________________________
  1729.    0     0    0  .16    0    0   .01
  1730.  .85   .04 -.04  .85    0  1.6   .85
  1731.  .2   -.26  .23  .22    0  1.6   .07
  1732. -.15   .28  .26  .24    0  .44   .07
  1733.  
  1734. The values on each line define a matrix, vector, and probability: 
  1735.  
  1736.     matrix   vector  prob
  1737.     |a b|     |e|     p
  1738.     |c d|     |f|
  1739. P. The "p" values are the probabilities assigned to each function (how often it 
  1740. is used), which add up to one. Fractint supports up to 32 functions, although 
  1741. usually three or four are enough. 
  1742.  
  1743. 3D IFS definitions are a bit different.  The name is followed by (3D) in the 
  1744. definition file, and each line of the definition contains 13 numbers: a b c d e 
  1745. f g h i j k l p, defining: 
  1746.  
  1747.     matrix   vector  prob
  1748.     |a b c|   |j|     p
  1749.     |d e f|   |k|
  1750.     |g h i|   |l|
  1751.  
  1752. You can experiment with changes to IFS definitions interactively by using 
  1753. Fractint's <Z> command.  After selecting an IFS definition, hit <Z> to bring up 
  1754. the IFS editor. This editor displays the current IFS values, lets you modify 
  1755. them, and lets you save your modified values as a text file which you can then 
  1756. merge into an XXX.IFS file for future use with Fractint. 
  1757.  
  1758. The program FDESIGN can be used to design IFS fractals. 
  1759.  
  1760. You can save the points in your IFS fractal in the file ORBITS.RAW which is 
  1761. overwritten each time a fractal is generated. The program Acrospin can read 
  1762. this file and will let you view the fractal from in any angle using the cursor 
  1763. keys. 
  1764.  
  1765.  
  1766. ΓòÉΓòÉΓòÉ 5.14. Sierpinski Gasket ΓòÉΓòÉΓòÉ
  1767.  
  1768. (type=sierpinski) 
  1769.  
  1770. Another pre-Mandelbrot classic, this one found by W. Sierpinski around World 
  1771. War I. It is generated by dividing a triangle into four congruent smaller 
  1772. triangles, doing the same to each of them, and so on, yea, even unto infinity. 
  1773. (Notice how hard we try to avoid reiterating "iterating"?) 
  1774.  
  1775. If you think of the interior triangles as "holes", they occupy more and more of 
  1776. the total area, while the "solid" portion becomes as hopelessly fragile as that 
  1777. gasket you HAD to remove without damaging it -- you remember, that Sunday 
  1778. afternoon when all the parts stores were closed? There's a three-dimensional 
  1779. equivalent using nested tetrahedrons instead of triangles, but it generates too 
  1780. much pyramid power to be safely unleashed yet. 
  1781.  
  1782. There are no parameters for this type. We were able to implement it with 
  1783. integer math routines, so it runs fairly quickly even without an FPU. 
  1784.  
  1785. Select below for details of the formula. 
  1786.  
  1787.  sierpinski formula 
  1788.  
  1789.  
  1790. ΓòÉΓòÉΓòÉ 5.15. Quartic Mandelbrot/Julia ΓòÉΓòÉΓòÉ
  1791.  
  1792. (type=mandel4/julia4) 
  1793.  
  1794. These fractal types are the moral equivalent of the original M and J sets, 
  1795. except that they use the formula Z(n+1) = Z(n)^4 + C, which adds additional 
  1796. pseudo-symmetries to the plots. The "Mandel4" set maps to the "Julia4" set via 
  1797. -- surprise! -- the spacebar toggle. The M4 set is kind of boring at first (the 
  1798. area between the "inside" and the "outside" of the set is pretty thin, and it 
  1799. tends to take a few zooms to get to any interesting sections), but it looks 
  1800. nice once you get there. The Julia sets look nice right from the start. 
  1801.  
  1802. Other powers, like Z(n)^3 or Z(n)^7, work in exactly the same fashion. We used 
  1803. this one only because we're lazy, and Z(n)^4 = (Z(n)^2)^2. 
  1804.  
  1805. Select below for details on each formula. 
  1806.  
  1807.  mandel4 formula 
  1808.  
  1809.  julia4 formula 
  1810.  
  1811.  
  1812. ΓòÉΓòÉΓòÉ 5.16. Distance Estimator ΓòÉΓòÉΓòÉ
  1813.  
  1814. (distest=nnn/nnn) 
  1815.  
  1816. This used to be type=demm and type=demj.  These types have not died, but are 
  1817. only hiding!  They are equivalent to the mandel and julia types with the 
  1818. "distest=" option selected with a predetermined value. 
  1819.  
  1820. The  Distance Estimator Method can be used to produce higher quality images of 
  1821. M and J sets, especially suitable for printing in black and white. 
  1822.  
  1823. If you have some *.fra files made with the old types demm/demj, you may want to 
  1824. convert them to the new form.  See the  Mandelfn section for directions to 
  1825. carry out the conversion. 
  1826.  
  1827.  
  1828. ΓòÉΓòÉΓòÉ 5.17. Pickover Mandelbrot/Julia Types ΓòÉΓòÉΓòÉ
  1829.  
  1830. (type=manfn+zsqrd/julfn+zsqrd, manzpowr/julzpowr, manzzpwr/julzzpwr, 
  1831. manfn+exp/julfn+exp - formerly included man/julsinzsqrd and man/julsinexp which 
  1832. have now been generalized) 
  1833.  
  1834. These types have been explored by Clifford A. Pickover, of the IBM Thomas J. 
  1835. Watson Research center. As implemented in Fractint, they are regular 
  1836. Mandelbrot/Julia set pairs that may be plotted with or without the  "biomorph" 
  1837. option Pickover used to create organic-looking beasties (see below). These 
  1838. types are produced with formulas built from the functions z^z, z^n, sin(z), and 
  1839. e^z for complex z. Types with "power" or "pwr" in their name have an exponent 
  1840. value as a third parameter. For example, type=manzpower params=0/0/2 is our old 
  1841. friend the classical Mandelbrot, and type=manzpower params=0/0/4 is the Quartic 
  1842. Mandelbrot. Other values of the exponent give still other fractals.  Since 
  1843. these WERE the original "biomorph" types, we should give an example.  Try: 
  1844.  
  1845.   FRACTINT type=manfn+zsqrd biomorph=0 corners=-8/8/-6/6 function=sin
  1846.  
  1847. to see a big biomorph digesting little biomorphs! 
  1848.  
  1849. Select below for details on each formula. 
  1850.  
  1851.  manfn+zsqrd formula 
  1852.  
  1853.  julfn+zsqrd formula 
  1854.  
  1855.  manzpowr formula 
  1856.  
  1857.  julzpowr formula 
  1858.  
  1859.  manzzpwr formula 
  1860.  
  1861.  julzzpwr formula 
  1862.  
  1863.  manfn+exp formula 
  1864.  
  1865.  julfn+exp formula 
  1866.  
  1867.  
  1868. ΓòÉΓòÉΓòÉ 5.18. Pickover Popcorn ΓòÉΓòÉΓòÉ
  1869.  
  1870. (type=popcorn/popcornjul) 
  1871.  
  1872. Here is another Pickover idea. This one computes and plots the orbits of the 
  1873. dynamic system defined by: 
  1874.  
  1875.          x(n+1) = x(n) - h*sin(y(n)+tan(3*y(n))
  1876.          y(n+1) = y(n) - h*sin(x(n)+tan(3*x(n))
  1877.  
  1878. with the initializers x(0) and y(0) equal to ALL the complex values within the 
  1879. "corners" values, and h=.01.  ALL these orbits are superimposed, resulting in 
  1880. "popcorn" effect.  You may want to use a maxiter value less than normal - 
  1881. Pickover recommends a value of 50.  As a bonus, type=popcornjul shows the Julia 
  1882. set generated by these same equations with the usual escape-time coloring. Turn 
  1883. on orbit viewing with the "O" command, and as you watch the orbit pattern you 
  1884. may get some insight as to where the popcorn comes from. Although you can zoom 
  1885. and rotate popcorn, the results may not be what you'd expect, due to the 
  1886. superimposing of orbits and arbitrary use of color. Just for fun we added type 
  1887. popcornjul, which is the plain old Julia set calculated from the same formula. 
  1888.  
  1889. Select below for details on each formula. 
  1890.  
  1891.  popcorn formula 
  1892.  
  1893.  popcornjul formula 
  1894.  
  1895.  
  1896. ΓòÉΓòÉΓòÉ 5.19. Peterson Variations ΓòÉΓòÉΓòÉ
  1897.  
  1898. (type=marksmandel, marksjulia, cmplxmarksmand, cmplxmarksjul, marksmandelpwr, 
  1899. tim's_error) 
  1900.  
  1901. These fractal types are contributions of Mark Peterson. MarksMandel and 
  1902. MarksJulia are two families of fractal types that are linked in the same manner 
  1903. as the classic Mandelbrot/Julia sets: each MarksMandel set can be considered as 
  1904. a mapping into the MarksJulia sets, and is linked with the spacebar toggle. The 
  1905. basic equation for these sets is: 
  1906.  
  1907.       Z(n+1) = ((lambda^n) * Z(n)^2) + lambda
  1908.  
  1909. where Z(0) = 0.0 and lambda is (x + iy) for MarksMandel. For MarksJulia, Z(0) = 
  1910. (x + iy) and lambda is a constant (taken from the MarksMandel spacebar toggle, 
  1911. if that method is used). The exponent is a positive integer or a complex 
  1912. number. We call these "families" because each value of the exponent yields a 
  1913. different MarksMandel set, which turns out to be a kinda-polygon with 
  1914. (exponent+1) sides. The exponent value is the third parameter, after the 
  1915. "initialization warping" values. Typically one would use null warping values, 
  1916. and specify the exponent with something like "PARAMS=0/0/4", which creates an 
  1917. unwarped, pentagonal MarksMandel set. 
  1918.  
  1919. In the process of coding MarksMandelPwr formula type, Tim Wegner created the 
  1920. type "tim's_error" after making an interesting coding mistake. 
  1921.  
  1922. Select below for details on each formula. 
  1923.  
  1924.  marksmandel formula 
  1925.  
  1926.  marksjulia formula 
  1927.  
  1928.  cmplxmarksmand formula 
  1929.  
  1930.  cmplsmarksjul formula 
  1931.  
  1932.  marksmandpwr formula 
  1933.  
  1934.  tim's error formula 
  1935.  
  1936.  
  1937. ΓòÉΓòÉΓòÉ 5.20. Unity ΓòÉΓòÉΓòÉ
  1938.  
  1939. (type=unity) 
  1940.  
  1941. This Peterson variation began with curiosity about other "Newton-style" 
  1942. approximation processes. A simple one, 
  1943.  
  1944.    One = (x * x) + (y * y); y = (2 - One) * x;   x = (2 - One) * y;
  1945.  
  1946. produces the fractal called Unity. 
  1947.  
  1948. One of its interesting features is the "ghost lines." The iteration loop bails 
  1949. out when it reaches the number 1 to within the resolution of a screen pixel. 
  1950. When you zoom a section of the image, the bailout criterion is adjusted, 
  1951. causing some lines to become thinner and others thicker.  Only one line in 
  1952. Unity that forms a perfect circle: the one at a radius of 1 from the origin. 
  1953. This line is actually infinitely thin. Zooming on it reveals only a thinner 
  1954. line, up (down?) to the limit of accuracy for the algorithm. The same thing 
  1955. happens with other lines in the fractal, such as those around |x| = |y| = 
  1956. (1/2)^(1/2) = .7071 
  1957.  
  1958. Try some other tortuous approximations using the  TEST stub and let us know 
  1959. what you come up with! 
  1960.  
  1961. Select below for details of the formula. 
  1962.  
  1963.  unity formula 
  1964.  
  1965.  
  1966. ΓòÉΓòÉΓòÉ 5.21. Scott Taylor / Lee Skinner Variations ΓòÉΓòÉΓòÉ
  1967.  
  1968. (type=fn(z*z), fn*fn, fn*z+z, fn+fn, sqr(1/fn), sqr(fn), spider, tetrate, 
  1969. manowar) 
  1970.  
  1971. Two of Fractint's faithful users went bonkers when we introduced the "formula" 
  1972. type, and came up with all kinds of variations on escape-time fractals using 
  1973. trig functions.  We decided to put them in as regular types, but there were 
  1974. just too many! So we defined the types with variable functions and let you, 
  1975. the, overwhelmed user, specify what the functions should be! Thus Scott 
  1976. Taylor's "z = sin(z) + z^2" formula type is now the "fn+fn" regular type, and 
  1977. EITHER function can be one of sin, cos, tan, cotan, sinh, cosh, tanh, cotanh, 
  1978. exp, log, sqr, recip, ident, or cosxx. Plus we give you 4 parameters to set, 
  1979. the complex coefficients of the two functions!  Thus the innocent-looking 
  1980. "fn+fn" type is really 66 different types in disguise, not counting the damage 
  1981. done by the parameters! 
  1982.  
  1983. Lee informs us that you should not judge fractals by their "outer" appearance. 
  1984. For example, the images produced by z = sin(z) + z^2 and z = sin(z) - z^2 look 
  1985. very similar, but are different when you zoom in. 
  1986.  
  1987. Select below for details on each formula. 
  1988.  
  1989.  fn(z*z) formula 
  1990.  
  1991.  fn*fn formula 
  1992.  
  1993.  fn*z+z formula 
  1994.  
  1995.  fn+fn formula 
  1996.  
  1997.  fn+fn(pix) formula 
  1998.  
  1999.  sqr(1/fn) formula 
  2000.  
  2001.  sqr(fn) formula 
  2002.  
  2003.  spider formula 
  2004.  
  2005.  tetrate formula 
  2006.  
  2007.  manowar formula 
  2008.  
  2009.  manowar julia formula 
  2010.  
  2011.  
  2012. ΓòÉΓòÉΓòÉ 5.22. Kam Torus ΓòÉΓòÉΓòÉ
  2013.  
  2014. (type=kamtorus, kamtorus3d) 
  2015.  
  2016. This type is created by superimposing orbits generated by a set of equations, 
  2017. with a variable incremented each time. 
  2018.  
  2019. x(0) = y(0) = orbit/3;
  2020. x(n+1) = x(n)*cos(a) + (x(n)*x(n)-y(n))*sin(a)
  2021. y(n+1) = x(n)*sin(a) - (x(n)*x(n)-y(n))*cos(a)
  2022.  
  2023. After each orbit, 'orbit' is incremented by a step size. The parameters are 
  2024. angle "a", step size for incrementing 'orbit', stop value for 'orbit', and 
  2025. points per orbit. Try this with a stop value of 5 with sound=x for some weird 
  2026. fractal music (ok, ok, fractal noise)! You will also see the KAM Torus head 
  2027. into some chaotic territory that Scott Taylor wanted to hide from you by 
  2028. setting the defaults the way he did, but now we have revealed all! 
  2029.  
  2030. The 3D variant is created by treating 'orbit' as the z coordinate. 
  2031.  
  2032. With both variants, you can adjust the "maxiter" value (<X> options screen or 
  2033. parameter maxiter=) to change the number of orbits plotted. 
  2034.  
  2035. Select below for details on the formula. 
  2036.  
  2037.  kamtorus formula 
  2038.  
  2039.  
  2040. ΓòÉΓòÉΓòÉ 5.23. Bifurcation ΓòÉΓòÉΓòÉ
  2041.  
  2042. (type=bifxxx) 
  2043.  
  2044. The wonder of fractal geometry is that such complex forms can arise from such 
  2045. simple generating processes. A parallel surprise has emerged in the study of 
  2046. dynamical systems: that simple, deterministic equations can yield chaotic 
  2047. behavior, in which the system never settles down to a steady state or even a 
  2048. periodic loop. Often such systems behave normally up to a certain level of some 
  2049. controlling parameter, then go through a transition in which there are two 
  2050. possible solutions, then four, and finally a chaotic array of possibilities. 
  2051.  
  2052. This emerged many years ago in biological models of population growth. Consider 
  2053. a (highly over-simplified) model in which the rate of growth is partly a 
  2054. function of the size of the current population: 
  2055.  
  2056. New Population =  Growth Rate * Old Population * (1 - Old Population) 
  2057.  
  2058. where population is normalized to be between 0 and 1. At growth rates less than 
  2059. 200 percent, this model is stable: for any starting value, after several 
  2060. generations the population settles down to a stable level. But for rates over 
  2061. 200 percent, the equation's curve splits or "bifurcates" into two discrete 
  2062. solutions, then four, and soon becomes chaotic. 
  2063.  
  2064. Type=bifurcation illustrates this model. (Although it's now considered a poor 
  2065. one for real populations, it helped get people thinking about chaotic systems.) 
  2066. The horizontal axis represents growth rates, from 190 percent (far left) to 400 
  2067. percent; the vertical axis normalized population values, from 0 to 4/3. Notice 
  2068. that within the chaotic region, there are narrow bands where there is a small, 
  2069. odd number of stable values. It turns out that the geometry of this branching 
  2070. is fractal; zoom in where changing pixel colors look suspicious, and see for 
  2071. yourself. 
  2072.  
  2073. Two parameters apply to bifurcations: Filter Cycles and Seed Population. 
  2074.  
  2075. Filter Cycles (default 1000) is the number of iterations to be done before 
  2076. plotting maxiter population values. This gives the iteration time to settle 
  2077. into the characteristic patterns that constitute the bifurcation diagram, and 
  2078. results in a clean-looking plot.  However, using lower values produces 
  2079. interesting results too. Set Filter Cycles to 1 for an unfiltered map. 
  2080.  
  2081. Seed Population (default 0.66) is the initial population value from which all 
  2082. others are calculated. For filtered maps the final image is independent of Seed 
  2083. Population value in the valid range (0.0 < Seed Population < 1.0). 
  2084.  
  2085. Seed Population becomes effective in unfiltered maps - try setting Filter 
  2086. Cycles to 1 (unfiltered) and Seed Population to 0.001 ("PARAMS=1/.001" on the 
  2087. command line). This results in a map overlaid with nice curves. Each Seed 
  2088. Population value results in a different set of curves. 
  2089.  
  2090. Many formulae can be used to produce bifurcations.  Mitchel Feigenbaum studied 
  2091. lots of bifurcations in the mid-70's, using a HP-65 calculator (IBM PCs, 
  2092. Fractals, and Fractint, were all Sci-Fi then !). He studied where bifurcations 
  2093. occurred, for the formula r*p*(1-p), the one described above.    He found that the 
  2094. ratios of lengths of adjacent areas of bifurcation were four and a bit.  These 
  2095. ratios vary, but, as the growth rate increases, they tend to a limit of 4.669+. 
  2096. This helped him guess where bifurcation points would be, and saved lots of 
  2097. time. 
  2098.  
  2099. When he studied bifurcations of r*sin(PI*p) he found a similar pattern, which 
  2100. is not surprising in itself.  However, 4.669+ popped out, again. Different 
  2101. formulae, same number ?  Now, THAT's surprising !  He tried many other formulae 
  2102. and ALWAYS got 4.669+ - Hot Damn !!!  So hot, in fact, that he phoned home and 
  2103. told his Mom it would make him Famous ! He also went on to tell other 
  2104. scientists.  The rest is History... 
  2105.  
  2106. (It has been conjectured that if Feigenbaum had a copy of Fractint, and used it 
  2107. to study bifurcations, he may never have found his Number, as it only became 
  2108. obvious from long perusal of hand-written lists of values, without the 
  2109. distraction of wild color-cycling effects !). 
  2110.  
  2111. We now know that this number is as universal as PI or E. It appears in 
  2112. situations ranging from fluid-flow turbulence, electronic oscillators, chemical 
  2113. reactions, and even the Mandelbrot Set - yup, fraid so: "budding" of the 
  2114. Mandelbrot Set along the negative real axis occurs at intervals determined by 
  2115. Feigenbaum's Number, 4.669201660910..... 
  2116.  
  2117. Fractint does not make direct use of the Feigenbaum Number (YET !). However, it 
  2118. does now reflect the fact that there is a whole sub-species of Bifurcation-type 
  2119. fractals.  Those implemented to date, and the related formulae, (writing P for 
  2120. pop[n+1] and p for pop[n]) are : 
  2121.  
  2122. bifurcation   P =  p + r*p*(1-p)      Verhulst Bifurcations.
  2123. biflambda     P =      r*p*(1-p)      Real equivalent of Lambda Sets.
  2124. bif+sinpi     P =  p + r*sin(PI*p)    Population scenario based on...
  2125. bif=sinpi     P =      r*sin(PI*p)    ...Feigenbaum's second formula.
  2126. bifstewart    P =      r*p*p - 1      Stewart Map.
  2127.  
  2128. It took a while for bifurcations to appear here, despite them being over a 
  2129. century old, and intimately related to chaotic systems. However, they are now 
  2130. truly alive and well in Fractint! 
  2131.  
  2132. Select below for details on each formula. 
  2133.  
  2134.  bifurcation formula 
  2135.  
  2136.  bif+sinpi formula 
  2137.  
  2138.  bif=sinpi formula 
  2139.  
  2140.  biflambda formula 
  2141.  
  2142.  bifstewart formula 
  2143.  
  2144.  
  2145. ΓòÉΓòÉΓòÉ 5.24. Orbit Fractals ΓòÉΓòÉΓòÉ
  2146.  
  2147. Orbit Fractals are generated by plotting an orbit path in two or three 
  2148. dimensional space. 
  2149.  
  2150. See  Lorenz Attractors,  Rossler Attractors,  Henon Attractors,  Pickover 
  2151. Attractors,  Gingerbreadman,  Martin Attractors. 
  2152.  
  2153. The orbit trajectory for these types can be saved in the file ORBITS.RAW by 
  2154. invoking Fractint with the "orbitsave=yes" command-line option.  This file will 
  2155. be overwritten each time you generate a new fractal, so rename it if you want 
  2156. to save it.  A nifty program called Acrospin can read these files and rapidly 
  2157. rotate them in 3-D - see  Acrospin. 
  2158.  
  2159.  
  2160. ΓòÉΓòÉΓòÉ 5.25. Lorenz Attractors ΓòÉΓòÉΓòÉ
  2161.  
  2162. (type=lorenz/lorenz3d) 
  2163.  
  2164. The "Lorenz Attractor" is a "simple" set of three deterministic equations 
  2165. developed by Edward Lorenz while studying the non- repeatability of weather 
  2166. patterns.  The weather forecaster's basic problem is that even very tiny 
  2167. changes in initial patterns ("the beating of a butterfly's wings" - the 
  2168. official term is "sensitive dependence on initial conditions") eventually 
  2169. reduces the best weather forecast to rubble. 
  2170.  
  2171. The lorenz attractor is the plot of the orbit of a dynamic system consisting of 
  2172. three first order non-linear differential equations. The solution to the 
  2173. differential equation is vector-valued function of one variable.  If you think 
  2174. of the variable as time, the solution traces an orbit.  The orbit is made up of 
  2175. two spirals at an angle to each other in three dimensions. We change the orbit 
  2176. color as time goes on to add a little dazzle to the image.  The equations are: 
  2177.  
  2178.  dx/dt = -a*x + a*y
  2179.  dy/dt =  b*x - y -z*x
  2180.  dz/dt = -c*z + x*y
  2181.  
  2182. We solve these differential equations approximately using a method known as the 
  2183. first order taylor series.  Calculus teachers everywhere will kill us for 
  2184. saying this, but you treat the notation for the derivative dx/dt as though it 
  2185. really is a fraction, with "dx" the small change in x that happens when the 
  2186. time changes "dt".  So multiply through the above equations by dt, and you will 
  2187. have the change in the orbit for a small time step. We add these changes to the 
  2188. old vector to get the new vector after one step. This gives us: 
  2189.  
  2190.  xnew = x + (-a*x*dt) + (a*y*dt)
  2191.  ynew = y + (b*x*dt) - (y*dt) - (z*x*dt)
  2192.  znew = z + (-c*z*dt) + (x*y*dt)
  2193.  
  2194. (default values: dt = .02, a = 5, b = 15, c = 1) 
  2195.  
  2196. We connect the successive points with a line, project the resulting 3D orbit 
  2197. onto the screen, and voila! The Lorenz Attractor! 
  2198.  
  2199. We have added two versions of the Lorenz Attractor.  "Type=lorenz" is the 
  2200. Lorenz attractor as seen in everyday 2D.  "Type=lorenz3d" is the same set of 
  2201. equations with the added twist that the results are run through our perspective 
  2202. 3D routines, so that you get to view it from different angles (you can modify 
  2203. your perspective "on the fly" by using the <I> command.) If you set the 
  2204. "stereo" option to "2", and have red/blue funny glasses on, you will see the 
  2205. attractor orbit with depth perception. 
  2206.  
  2207. Hint: the default perspective values (x = 60, y = 30, z = 0) aren't the best 
  2208. ones to use for fun Lorenz Attractor viewing.  Experiment a bit - start with 
  2209. rotation values of 0/0/0 and then change to 20/0/0 and 40/0/0 to see the 
  2210. attractor from different angles.- and while you're at it, use a non-zero 
  2211. perspective point Try 100 and see what happens when you get *inside* the Lorenz 
  2212. orbits.  Here comes one - Duck!  While you are at it, turn on the sound with 
  2213. the "X". This way you'll at least hear it coming! 
  2214.  
  2215. Different Lorenz attractors can be created using different parameters. Four 
  2216. parameters are used. The first is the time-step (dt). The default value is .02. 
  2217. A smaller value makes the plotting go slower; a larger value is faster but 
  2218. rougher. A line is drawn to connect successive orbit values. The second, third, 
  2219. and fourth parameters are coefficients used in the differential equation (a, b, 
  2220. and c). The default values are 5, 15, and 1. Try changing these a little at a 
  2221. time to see the result. 
  2222.  
  2223. Select below for details on the formula. 
  2224.  
  2225.  lorenz and lorenz3d formula 
  2226.  
  2227.  lorenz3d1 formula 
  2228.  
  2229.  lorenz3d3 formula 
  2230.  
  2231.  lorenz3d4 formula 
  2232.  
  2233.  
  2234. ΓòÉΓòÉΓòÉ 5.26. Rossler Attractors ΓòÉΓòÉΓòÉ
  2235.  
  2236. (type=rossler3D) 
  2237.  
  2238. This fractal is named after the German Otto Rossler, a non-practicing medical 
  2239. doctor who approached chaos with a bemusedly philosophical attitude.  He would 
  2240. see strange attractors as philosophical objects. His fractal namesake looks 
  2241. like a band of ribbon with a fold in it. All we can say is we used the same 
  2242. calculus-teacher-defeating trick of multiplying the equations by "dt" to solve 
  2243. the differential equation and generate the orbit.  This time we will skip 
  2244. straight to the orbit generator - if you followed what we did above with type 
  2245. Lorenz you can easily reverse engineer the differential equations. 
  2246.  
  2247. xnew = x - y*dt -   z*dt
  2248. ynew = y + x*dt + a*y*dt
  2249. znew = z + b*dt + x*z*dt - c*z*dt
  2250.  
  2251. Default parameters are dt = .04, a = .2, b = .2, c = 5.7 
  2252.  
  2253. Select below for details on the formula. 
  2254.  
  2255.  rossler3D formula 
  2256.  
  2257.  
  2258. ΓòÉΓòÉΓòÉ 5.27. Henon Attractors ΓòÉΓòÉΓòÉ
  2259.  
  2260. (type=henon) 
  2261.  
  2262. Michel Henon was an astronomer at Nice observatory in southern France. He came 
  2263. to the subject of fractals via investigations of the orbits of astronomical 
  2264. objects.  The strange attractor most often linked with Henon's name comes not 
  2265. from a differential equation, but from the world of discrete mathematics - 
  2266. difference equations. The Henon map is an example of a very simple dynamic 
  2267. system that exhibits strange behavior. The orbit traces out a characteristic 
  2268. banana shape, but on close inspection, the shape is made up of thicker and 
  2269. thinner parts.  Upon magnification, the thicker bands resolve to still other 
  2270. thick and thin components.  And so it goes forever! The equations that generate 
  2271. this strange pattern perform the mathematical equivalent of repeated stretching 
  2272. and folding, over and over again. 
  2273.  
  2274. xnew =  1 + y - a*x*x
  2275. ynew =  b*x
  2276.  
  2277. The default parameters are a=1.4 and b=.3. 
  2278.  
  2279. Select below for details on the formula. 
  2280.  
  2281.  henon formula 
  2282.  
  2283.  
  2284. ΓòÉΓòÉΓòÉ 5.28. Pickover Attractors ΓòÉΓòÉΓòÉ
  2285.  
  2286. (type=pickover) 
  2287.  
  2288. Clifford A. Pickover of the IBM Thomas J. Watson Research center is such a 
  2289. creative source for fractals that we attach his name to this one only with 
  2290. great trepidation.  Probably tomorrow he'll come up with another one and we'll 
  2291. be back to square one trying to figure out a name! 
  2292.  
  2293. This one is the three dimensional orbit defined by: 
  2294.  
  2295. xnew = sin(a*y) - z*cos(b*x)
  2296. ynew = z*sin(c*x) - cos(d*y)
  2297. znew = sin(x)
  2298.  
  2299. Default parameters are: a = 2.24, b = .43, c = -.65, d = -2.43 
  2300.  
  2301. Select below for details on the formula. 
  2302.  
  2303.  pickover formula 
  2304.  
  2305.  
  2306. ΓòÉΓòÉΓòÉ 5.29. Gingerbreadman ΓòÉΓòÉΓòÉ
  2307.  
  2308. (type=gingerbreadman) 
  2309.  
  2310. This simple fractal is a charming example stolen from "Science of Fractal 
  2311. Images", p. 149. 
  2312.  
  2313. xnew = 1 - y + |x|
  2314. ynew = x
  2315.  
  2316. The initial x and y values are set by parameters, defaults x=-.1, y = 0. 
  2317.  
  2318. Select below for details on the formula. 
  2319.  
  2320.  gingerbreadman formula 
  2321.  
  2322.  
  2323. ΓòÉΓòÉΓòÉ 5.30. Martin Attractors ΓòÉΓòÉΓòÉ
  2324.  
  2325. (type=hopalong/martin) 
  2326.  
  2327. These fractal types are from A. K. Dewdney's "Computer Recreations" column in 
  2328. "Scientific American". They are attributed to Barry Martin of Aston University 
  2329. in Birmingham, Alabama. 
  2330.  
  2331. Hopalong is an "orbit" type fractal like lorenz. The image is obtained by 
  2332. iterating this formula after setting z(0) = y(0) = 0: 
  2333.  
  2334. x(n+1) = y(n) - sign(x(n))*sqrt(abs(b*x(n)-c))
  2335. y(n+1) = a - x(n)
  2336.  
  2337. Parameters are a, b, and c. The function "sign()"  returns 1 if the argument is 
  2338. positive, -1 if argument is negative. 
  2339.  
  2340. This fractal continues to develop in surprising ways after many iterations. 
  2341.  
  2342. Another Martin fractal is simpler. The iterated formula is: 
  2343.  
  2344. x(n+1) = y(n) - sin(x(n))
  2345. y(n+1) = a - x(n)
  2346.  
  2347. The paramneter is "a". Try values near the number pi. 
  2348.  
  2349. Select below for details on the formula. 
  2350.  
  2351.  hopalong formula 
  2352.  
  2353.  Martin formula 
  2354.  
  2355.  
  2356. ΓòÉΓòÉΓòÉ 5.31. Test ΓòÉΓòÉΓòÉ
  2357.  
  2358. (type=test) 
  2359.  
  2360. This is a stub that we (and you!) use for trying out new fractal types. 
  2361. "Type=test" fractals make use of Fractint's structure and features for whatever 
  2362. code is in the routine 'testpt()' (located in the small source file TESTPT.C) 
  2363. to determine the color of a particular pixel. 
  2364.  
  2365. If you have a favorite fractal type that you believe would fit nicely into 
  2366. Fractint, just rewrite the C function in TESTPT.C (or use the prototype 
  2367. function there, which is a simple M-set implementation) with an algorithm that 
  2368. computes a color based on a point in the complex plane. 
  2369.  
  2370. After you get it working, send your code to one of the authors and we might 
  2371. just add it to the next release of Fractint, with full credit to you. Our 
  2372. criteria are: 1) an interesting image and 2) a formula significantly different 
  2373. from types already supported. (Bribery may also work. THIS author is completely 
  2374. honest, but I don't trust those other guys.) Be sure to include an explanation 
  2375. of your algorithm and the parameters supported, preferably formatted as you see 
  2376. here to simplify folding it into the documentation. 
  2377.  
  2378. Select below for details on the formula. 
  2379.  
  2380.  test formula 
  2381.  
  2382.  
  2383. ΓòÉΓòÉΓòÉ 5.32. Formula ΓòÉΓòÉΓòÉ
  2384.  
  2385. (type=formula) 
  2386.  
  2387. This is a "roll-your-own" fractal interpreter - you don't even need a compiler! 
  2388.  
  2389. To run a "type=formula" fractal, you first need a text file containing formulas 
  2390. (there's a sample file - FRACTINT.FRM - included with this distribution).  When 
  2391. you select the "formula" fractal type, Fractint scans the current formula file 
  2392. (default is FRACTINT.FRM) for formulas, then prompts you for the formula name 
  2393. you wish to run.  After prompting for any parameters, the formula is parsed for 
  2394. syntax errors and then the fractal is generated. If you want to use a different 
  2395. formula file, press <F6> when you are prompted to select a formula name. 
  2396.  
  2397. There are two command-line options that work with type=formula ("formulafile=" 
  2398. and "formulaname="), useful when you are using this fractal type in batch mode. 
  2399.  
  2400. The following documentation is supplied by Mark Peterson, who wrote the formula 
  2401. interpreter: 
  2402.  
  2403. Formula fractals allow you to create your own fractal formulas.  The general 
  2404. format is: 
  2405.  
  2406.    Mandelbrot(XAXIS) { z = Pixel:  z = sqr(z) + pixel, |z| <= 4 }
  2407.       |         |          |                |              |
  2408.      Name     Symmetry    Initial         Iteration       Bailout
  2409.                           Condition                       Criteria
  2410.  
  2411. Initial conditions are set, then the iterations performed until the bailout 
  2412. criteria is true or 'z' turns into a periodic loop. All variables are created 
  2413. automatically by their usage and treated as complex.  If you declare 'v = 2' 
  2414. then the variable 'v' is treated as a complex with an imaginary value of zero. 
  2415.  
  2416.           Predefined Variables (x, y)
  2417.           --------------------------------------------
  2418.           z              used for periodicity checking
  2419.           p1             parameters 1 and 2
  2420.           p2             parameters 3 and 4
  2421.           pixel          screen coordinates
  2422.  
  2423.           Precedence
  2424.           --------------------------------------------
  2425.           1              sin(), cos(), sinh(), cosh(), cosxx(),
  2426.                          tan(), cotan(), tanh(), cotanh(),
  2427.                          sqr, log(), exp(), abs(), conj(), real(),
  2428.                          imag(), flip(), fn1(), fn2(), fn3(), fn4()
  2429.           2              - (negation), ^ (power)
  2430.           3              * (multiplication), / (division)
  2431.           4              + (addition), - (subtraction)
  2432.           5              = (assignment)
  2433.           6              < (less than), <= (less than or equal to)
  2434.  
  2435. Precedence may be overridden by use of parenthesis.  Note the modulus squared 
  2436. operator |z| is also parenthetic and always sets the imaginary component to 
  2437. zero.  This means 'c * |z - 4|' first subtracts 4 from z, calculates the 
  2438. modulus squared then multiplies times 'c'.  Nested modulus squared operators 
  2439. require overriding parenthesis: 
  2440.  
  2441.           c * |z + (|pixel|)|
  2442.  
  2443. The functions fn1(...) to fn4(...) are variable functions - when used, the user 
  2444. is prompted at run time (on the <Z> screen) to specify one of sin, cos, sinh, 
  2445. cosh, exp, log, sqr, etc. for each required variable function. 
  2446.  
  2447. The formulas are performed using either integer or floating point mathematics 
  2448. depending on the <F> floating point toggle.  If you do not have an FPU then 
  2449. type MPC math is performed in lieu of traditional floating point. 
  2450.  
  2451. Remember that when using integer math there is a limited dynamic range, so what 
  2452. you think may be a fractal could really be just a limitation of the integer 
  2453. math range.  God may work with integers, but His dynamic range is many orders 
  2454. of magnitude greater than our puny 32 bit mathematics!  Always verify with the 
  2455. floating point <F> toggle. 
  2456.  
  2457.  
  2458. ΓòÉΓòÉΓòÉ 5.33. Julibrots ΓòÉΓòÉΓòÉ
  2459.  
  2460. (type=julibrot) 
  2461.  
  2462. The following documentation is supplied by Mark Peterson, who "invented" the 
  2463. Julibrot algorithm. 
  2464.  
  2465. There is a very close relationship between the Mandelbrot set and Julia sets of 
  2466. the same equation.  To draw a Julia set you take the basic equation and vary 
  2467. the initial value according to the two dimensions of screen leaving the 
  2468. constant untouched.  This method diagrams two dimensions of the equation, 'x' 
  2469. and 'iy', which I refer to as the Julia x and y. 
  2470.  
  2471.      z(0) = screen coordinate (x + iy)
  2472.      z(1) = (z(0) * z(0)) + c, where c = (a + ib)
  2473.      z(2) = (z(1) * z(0)) + c
  2474.      z(3) = . . . .
  2475.  
  2476. The Mandelbrot set is a composite of all the Julia sets.  If you take the 
  2477. center pixel of each Julia set and plot it on the screen coordinate 
  2478. corresponding to the value of c, a + ib, then you have the Mandelbrot set. 
  2479.  
  2480.      z(0) = 0
  2481.      z(1) = (z(0) * z(0)) + c, where c = screen coordinate (a + ib)
  2482.      z(2) = (z(1) * z(1)) + c
  2483.      z(3) = . . . .
  2484.  
  2485. I refer to the 'a' and 'ib' components of 'c' as the Mandelbrot 'x' and 'y'. 
  2486.  
  2487. All the 2 dimensional Julia sets correspond to a single point on the 2 
  2488. dimensional Mandelbrot set, making a total of 4 dimensions associated with our 
  2489. equation.  Visualizing 4 dimensional objects is not as difficult as it may 
  2490. sound at first if you consider we live in a 4 dimensional world.  The room 
  2491. around you is three dimensions and as you read this text you are moving through 
  2492. the fourth dimension of time. You and everything around your are 4 dimensional 
  2493. objects - which is to say 3 dimensional objects moving through time.  We can 
  2494. think of the 4 dimensions of our equation in the same manner, this is as a 3 
  2495. dimensional object evolving over time - sort of a 3 dimensional fractal movie. 
  2496. The fun part of it is you get to pick the dimension representing time! 
  2497.  
  2498. To construct the 4 dimensional object into something you can view on the 
  2499. computer screen you start with the simple 2 dimensions of the Julia set. I'll 
  2500. treat the two Julia dimensions as the spatial dimensions of height and width, 
  2501. and the Mandelbrot 'y' dimension as the third spatial dimension of depth.  This 
  2502. leaves the Mandelbrot 'x' dimension as time.  Draw the Julia set associated 
  2503. with the Mandelbrot coordinate (-.83, -.25), but instead of setting the color 
  2504. according to the iteration level it bailed out on, make it a two color drawing 
  2505. where the pixels are black for iteration levels less than 30, and another color 
  2506. for iteration levels greater than or equal to 30.  Now increment the Mandelbrot 
  2507. 'y' coordinate by a little bit, say (-.83, -.2485), and draw another Julia set 
  2508. in the same manner using a different color for bailout values of 30 or greater. 
  2509. Continue doing this until you reach (-.83, .25).  You now have a three 
  2510. dimensional representation of the equation at time -.83.  If you make the same 
  2511. drawings for points in time before and after -.83 you can construct a 3 
  2512. dimensional movie of the equation which essentially is a full 4 dimensional 
  2513. representation. 
  2514.  
  2515. In the Julibrot fractal available with this release of Fractint the spatial 
  2516. dimensions of height and width are always the Julia dimensions. The dimension 
  2517. of depth is determined by the Mandelbrot coordinates.  The program will 
  2518. consider the dimension of depth as the line between the two Mandelbrot points. 
  2519. To draw the image in our previous example you would set the 'From Mandelbrot' 
  2520. to (-.83, .25) and the 'To Mandelbrot' as (-.83, -.25).  If you set the number 
  2521. of 'z' pixels to 128 then the program will draw the 128 Julia sets found 
  2522. between Mandelbrot points (-.83, .25) and (-.83, -.25).  To speed things up the 
  2523. program doesn't actually calculate ALL the coordinates of the Julia sets.  It 
  2524. starts with the a pixel a the Julia set closest to the observer and moves into 
  2525. the screen until it either reaches the required bailout or the limit to the 
  2526. range of depth.  Zooming can be done in the same manner as with other fractals. 
  2527. The visual effect (with other values unchanged) is similar to putting the boxed 
  2528. section under a pair of magnifying glasses. 
  2529.  
  2530. The variable associated with penetration level is the level of bailout there 
  2531. you decide to make the fractal solid.  In other words all bailout levels less 
  2532. than the penetration level are considered to be transparent, and those equal or 
  2533. greater to be opaque.  The farther away the apparent pixel is the dimmer the 
  2534. color. 
  2535.  
  2536. The remainder of the parameters are needed to construct the red/blue picture so 
  2537. that the fractal appears with the desired depth and proper 'z' location.  With 
  2538. the origin set to 8 inches beyond the screen plane and the depth of the fractal 
  2539. at 8 inches the default fractal will appear to start at 4 inches beyond the 
  2540. screen and extend to 12 inches if your eyeballs are 2.5 inches apart and 
  2541. located at a distance of 24 inches from the screen. The screen dimensions 
  2542. provide the reference frame. 
  2543.  
  2544. To the human eye blue appears brighter than red.  The Blue:Red ratio is used to 
  2545. compensate for this fact.  If the image appears reddish through the glasses 
  2546. raise this value until the image appears to be in shades of gray.  If it 
  2547. appears bluish lower the ratio.  Julibrots can only be shown in 256 red/blue 
  2548. colors for viewing in either stereo-graphic (red/blue funny glasses) or 
  2549. gray-scaled.  Fractint automatically loads either GLASSES1.MAP or ALTERN.MAP as 
  2550. appropriate. 
  2551.  
  2552.  
  2553. ΓòÉΓòÉΓòÉ 5.34. Diffusion Limited Aggregation ΓòÉΓòÉΓòÉ
  2554.  
  2555. (type=diffusion) 
  2556.  
  2557. This type begins with a single point in the center of the screen. Subsequent 
  2558. points move around randomly until coming into contact with the first point, at 
  2559. which time their locations are fixed and they are colored randomly.  This 
  2560. process repeats until the fractals reaches the edge of the screen.  Use the 
  2561. show orbits function to see the points' random motion. 
  2562.  
  2563. One unfortunate problem is that on a large screen, this process will tend to 
  2564. take eons.  To speed things up, the points are restricted to a box around the 
  2565. initial point.  The first and only parameter to diffusion contains the size of 
  2566. the border between the fractal and the edge of the box.  If you make this 
  2567. number small, the fractal will look more solid and will be generated more 
  2568. quickly. 
  2569.  
  2570. Diffusion was inspired by a Scientific American article a couple of years back 
  2571. which includes actual pictures of real physical phenomena that behave like 
  2572. this. 
  2573.  
  2574. Thanks to Adrian Mariano for providing the diffusion code and documentation. 
  2575.  
  2576. Select below for details on the formula. 
  2577.  
  2578.  diffusion formula 
  2579.  
  2580.  
  2581. ΓòÉΓòÉΓòÉ 5.35. Magnetic Fractals ΓòÉΓòÉΓòÉ
  2582.  
  2583. (type=magnet1m/.../magnet2j) 
  2584.  
  2585. These fractals use formulae derived from the study of hierarchical lattices, in 
  2586. the context of magnetic renormalisation transformations. This kinda stuff is 
  2587. useful in an area of theoretical physics that deals with magnetic 
  2588. phase-transitions (predicting at which temperatures a given substance will be 
  2589. magnetic, or non-magnetic).  In an attempt to clarify the results obtained for 
  2590. Real temperatures (the kind that you and I can feel), the study moved into the 
  2591. realm of Complex Numbers, aiming to spot Real phase-transitions by finding the 
  2592. intersections of lines representing Complex phase-transitions with the Real 
  2593. Axis.  The first people to try this were two physicists called Yang and Lee, 
  2594. who found the situation a bit more complex than first expected, as the phase 
  2595. boundaries for Complex temperatures are (surprise!) fractals. 
  2596.  
  2597. And that's all the technical (?) background you're getting here!  For more 
  2598. details (are you SERIOUS ?!) read "The Beauty of Fractals".  When you 
  2599. understand it all, you might like to re-write this section, before you start 
  2600. your new job as a professor of theoretical physics... 
  2601.  
  2602. In Fractint terms, the important bits of the above are "Fractals", "Complex 
  2603. Numbers", "Formulae", and "The Beauty of Fractals".  Lifting the Formulae 
  2604. straight out of the Book and iterating them over the Complex plane (just like 
  2605. the Mandelbrot set) produces Fractals. 
  2606.  
  2607. The formulae are a bit more complicated than the Z^2+C used for the Mandelbrot 
  2608. Set, that's all.  They are: 
  2609.  
  2610.                   Γöî               ΓöÉ
  2611.                   Γöé  Z^2 + (C-1)  Γöé
  2612.         MAGNET1 : Γöé ΓöÇΓöÇΓöÇΓöÇΓöÇΓöÇΓöÇΓöÇΓöÇΓöÇΓöÇΓöÇΓöÇ Γöé ^ 2
  2613.                   Γöé  2ΓêÖZ + (C-2)  Γöé
  2614.                   Γöö               Γöÿ
  2615.                   Γöî                                         ΓöÉ
  2616.                   Γöé      Z^3 + 3ΓêÖ(C-1)ΓêÖZ + (C-1)ΓêÖ(C-2)      Γöé
  2617.         MAGNET2 : Γöé ΓöÇΓöÇΓöÇΓöÇΓöÇΓöÇΓöÇΓöÇΓöÇΓöÇΓöÇΓöÇΓöÇΓöÇΓöÇΓöÇΓöÇΓöÇΓöÇΓöÇΓöÇΓöÇΓöÇΓöÇΓöÇΓöÇΓöÇΓöÇΓöÇΓöÇΓöÇΓöÇΓöÇΓöÇΓöÇΓöÇΓöÇΓöÇΓöÇ Γöé ^ 2
  2618.                   Γöé  3ΓêÖ(Z^2) + 3ΓêÖ(C-2)ΓêÖZ + (C-1)ΓêÖ(C-2) - 1  Γöé
  2619.                   Γöö                                         Γöÿ
  2620.  
  2621. These aren't quite as horrific as they look (oh yeah ?!) as they only involve 
  2622. two variables (Z and C), but cubing things, doing division, and eventually 
  2623. squaring the result (all in Complex Numbers) don't exactly spell S-p-e-e-d ! 
  2624. These are NOT the fastest fractals in Fractint ! 
  2625.  
  2626. As you might expect, for both formulae there is a single related 
  2627. Mandelbrot-type set (magnet1m, magnet2m) and an infinite number of related 
  2628. Julia-type sets (magnet1j, magnet2j), with the usual toggle between the 
  2629. corresponding Ms and Js via the spacebar. 
  2630.  
  2631. If you fancy delving into the Julia-types by hand, you will be prompted for the 
  2632. Real and Imaginary parts of the parameter denoted by C.  The result is 
  2633. symmetrical about the Real axis (and therefore the initial image gets drawn in 
  2634. half the usual time) if you specify a value of Zero for the Imaginary part of 
  2635. C. 
  2636.  
  2637. Fractint Historical Note:  Another complication (besides the formulae) in 
  2638. implementing these fractal types was that they all have a finite attractor (1.0 
  2639. + 0.0i), as well as the usual one (Infinity).  This fact spurred the 
  2640. development of Finite Attractor logic in Fractint.  Without this code you can 
  2641. still generate these fractals, but you usually end up with a pretty boring 
  2642. image that is mostly deep blue "lake", courtesy of Fractint's standard 
  2643. {Periodicity Logic}. See {Finite Attractors} for more information on this 
  2644. aspect of Fractint internals. 
  2645.  
  2646. (Thanks to Kevin Allen for Magnetic type documentation above). 
  2647.  
  2648. Select below for details on each formula. 
  2649.  
  2650.  magnet1m formula 
  2651.  
  2652.  magnet2m formula 
  2653.  
  2654.  magnet1j formula 
  2655.  
  2656.  magnet2j formula 
  2657.  
  2658.  
  2659. ΓòÉΓòÉΓòÉ 5.36. L-Systems ΓòÉΓòÉΓòÉ
  2660.  
  2661. (type=lsystem) 
  2662.  
  2663. These fractals are constructed from line segments using rules specified in 
  2664. drawing commands.  Starting with an initial string, the axiom, transformation 
  2665. rules are applied a specified number of times, to produce the final command 
  2666. string which is used to draw the image. 
  2667.  
  2668. Like the type=formula fractals, this type requires a separate data file. A 
  2669. sample file, FRACTINT.L, is included with this distribution.  When you select 
  2670. type lsystem, the current lsystem file is read and you are asked for the 
  2671. lsystem name you wish to run. Press <F6> at this point if you wish to use a 
  2672. different lsystem file. After selecting an lsystem, you are asked for one 
  2673. parameter - the "order", or number of times to execute all the transformation 
  2674. rules.  It is wise to start with small orders, because the size of the 
  2675. substituted command string grows exponentially and it is very easy to exceed 
  2676. your resolution.  (Higher orders take longer to generate too.)  The command 
  2677. line options "lname=" and "lfile=" can be used to over- ride the default file 
  2678. name and lsystem name. 
  2679.  
  2680. Each L-System entry in the file contains a specification of the angle, the 
  2681. axiom, and the transformation rules.  Each item must appear on its own line and 
  2682. each line must be less than 160 characters long. 
  2683.  
  2684. The statement "angle n" sets the angle to 360/n degrees; n must be an integer 
  2685. greater than two and less than fifty. 
  2686.  
  2687. "Axiom string" defines the axiom. 
  2688.  
  2689. Transformation rules are specified as "a=string" and convert the single 
  2690. character 'a' into "string."  If more than one rule is specified for a single 
  2691. character all of the strings will be added together.  This allows specifying 
  2692. transformations longer than the 160 character limit. Transformation rules may 
  2693. operate on any characters except space, tab or '}'. 
  2694.  
  2695. Any information after a ; (semi-colon) on a line is treated as a comment. 
  2696.  
  2697. Here is a sample lsystem: 
  2698.  
  2699. Dragon {         ; Name of lsystem, { indicates start
  2700.   Angle 8        ; Specify the angle increment to 45 degrees
  2701.   Axiom FX       ; Starting character string
  2702.   F=             ; First rule:  Delete 'F'
  2703.   y=+FX--FY+     ; Change 'y' into  "+fx--fy+"
  2704.   x=-FX++FY-     ; Similar transformation on 'x'
  2705.  }               ; final } indicates end
  2706.  
  2707. The standard drawing commands are: 
  2708.  
  2709. F         Draw forward 
  2710. G         Move forward (without drawing) 
  2711. +         Increase angle 
  2712. -         Decrease angle 
  2713. |         Try to turn 180 degrees. (If angle is odd, the turn will be the 
  2714.           largest possible turn less than 180 degrees.) 
  2715.  
  2716. These commands increment angle by the user specified angle value. They should 
  2717. be used when possible because they are fast. If greater flexibility is needed, 
  2718. use the following commands which keep a completely separate angle pointer which 
  2719. is specified in degrees. 
  2720.  
  2721. D         Draw forward 
  2722. M         Move forward 
  2723. \nn       Increase angle nn degrees 
  2724. /nn       Decrease angle nn degrees 
  2725.  
  2726. Color control: 
  2727.  
  2728. Cnn       Select color nn 
  2729. <nn       Increment color by nn 
  2730. >nn       decrement color by nn 
  2731.  
  2732. Advanced commands: 
  2733.  
  2734. !         Reverse directions (Switch meanings of +, - and \, /) 
  2735. @nnn      Multiply line segment size by nnn 
  2736.  
  2737.           nnn may be a plain number, or may be preceded by I for inverse, or Q 
  2738.           for square root. (e.g.  @IQ2 divides size by the square root of 2) 
  2739. [         Push.  Stores current angle and position on a stack 
  2740. ]         Pop.  Return to location of last push 
  2741.  
  2742. Other characters are perfectly legal in command strings.  They are ignored for 
  2743. drawing purposes, but can be used to achieve complex translations. 
  2744.  
  2745.  
  2746. ΓòÉΓòÉΓòÉ 5.37. Lyapunov Fractals ΓòÉΓòÉΓòÉ
  2747.  
  2748. (type=lyapunov) 
  2749.  
  2750. The Bifurcation fractal illustrates what happens in a simple population model 
  2751. as the growth rate increases.  The Lyapunov fractal expands that model into two 
  2752. dimensions by letting the growth rate vary in a periodic fashion between two 
  2753. values.  Each pair of growth rates is run through a logistic population model 
  2754. and a value called the Lyapunov Exponent is calculated for each pair and is 
  2755. plotted. The Lyapunov Exponent is calculated by adding up log | r -2*r*x| over 
  2756. many cycles of the population model and dividing by the number of cycles. 
  2757. Negative Lyapunov exponents indicate a stable periodic behavior and are plotted 
  2758. in color. Positive Lyapunov exponents indicate chaos and are colored black. 
  2759.  
  2760. Order parameter. 
  2761.  
  2762. Each possible periodic sequence yields a two dimensional space to explore. The 
  2763. Order parameter selects a sequence.  The default value 0 represents the 
  2764. sequence ab which alternates between the two values of the growth parameter. 
  2765. Here is how to calculate the space parameter for any desired sequence.  Take 
  2766. your sequence of a's and b's and arrange it so that it starts with at least 2 
  2767. a's and ends with a b. It may be necessary to rotate the sequence or swap a's 
  2768. and b's. Strike the first a and the last b off the list and replace each 
  2769. remaining a with a 1 and each remaining b with a zero. Interpret this as a 
  2770. binary number and convert it into decimal. 
  2771.  
  2772. An Example 
  2773.  
  2774. I like sonnets.  A sonnet is a poem with fourteen lines that has the following 
  2775. rhyming sequence: abba abba abab cc.  Ignoring the rhyming couplet at the end, 
  2776. let's calculate the Order parameter for this pattern. 
  2777.  
  2778.   abbaabbaabab         doesn't start with at least 2 a's \
  2779.   aabbaabababb         rotate it \
  2780.   1001101010           drop the first and last, replace with 0's and 1's \
  2781.   512+64+32+8+2 = 618
  2782.  
  2783. An Order parameter of 618 gives the Lyapunov equivalent of a sonnet.  "How do I 
  2784. make thee, let me count the ways..." 
  2785.  
  2786. Population Seed 
  2787.  
  2788. When two parts of a Lyapunov overlap, which spike overlaps which is strongly 
  2789. dependant on the initial value of the population model.  Any changes from using 
  2790. a different starting value between 0 and 1 may be subtle. 
  2791.  
  2792. Reference: 
  2793.  
  2794. A.K. Dewdney Mathematical Recreations Scientific American Sept. 1991 
  2795.  
  2796.  
  2797. ΓòÉΓòÉΓòÉ 6. Miscellaneous Topics ΓòÉΓòÉΓòÉ
  2798.  
  2799. The following are interesting topics from the Fractint for DOS documentation. 
  2800.  
  2801. o Biomorphs 
  2802.  
  2803. o Distance Estimator Method 
  2804.  
  2805. o Acrospin 
  2806.  
  2807. o Decomposition 
  2808.  
  2809. o GIF File Format 
  2810.  
  2811. o Bibliography 
  2812.  
  2813. o Palette Maps 
  2814.  
  2815.  
  2816. ΓòÉΓòÉΓòÉ 6.1. Biomorphs ΓòÉΓòÉΓòÉ
  2817.  
  2818. Related to  Decomposition are the "biomorphs" invented by Clifford Pickover, 
  2819. and discussed by A. K. Dewdney in the July 1989 "Scientific American", page 
  2820. 110.  These are so-named because this coloring scheme makes many fractals look 
  2821. like one-celled animals.  The idea is simple. The escape-time algorithm 
  2822. terminates an iterating formula when the size of the orbit value exceeds a 
  2823. predetermined bailout value. Normally the pixel corresponding to that orbit is 
  2824. colored according to the iteration when bailout happened. To create biomorphs, 
  2825. this is modified so that if EITHER the real OR the imaginary component is LESS 
  2826. than the bailout, then the pixel is set to the "biomorph" color. The effect is 
  2827. a bit better with higher bailout values: the bailout is automatically set to 
  2828. 100 when this option is in effect. You can try other values with the "bailout=" 
  2829. option. 
  2830.  
  2831. The biomorph option is turned on via the "biomorph=nnn" command-line option 
  2832. (where "nnn" is the color to use on the affected pixels).  When toggling to 
  2833. Julia sets, the default corners are three times bigger than normal to allow 
  2834. seeing the biomorph appendages. Does not work with all types - in particular it 
  2835. fails with any of the mandelsine family. However, if you are stuck with 
  2836. monochrome graphics, try it - works great in two- color modes. Try it with the 
  2837. marksmandel and marksjulia types. 
  2838.  
  2839.  
  2840. ΓòÉΓòÉΓòÉ 6.2. Distance Estimator Method ΓòÉΓòÉΓòÉ
  2841.  
  2842. This is Phil Wilson's implementation of an alternate method for the M and J 
  2843. sets, based on work by mathematician John Milnor and described in "The Science 
  2844. of Fractal Images", p. 198.  While it can take full advantage of your color 
  2845. palette, one of the best uses is in preparing monochrome images for a 
  2846. printer.    Using the 1600x1200x2 disk-video mode and an HP LaserJet, we have 
  2847. produced pictures of quality equivalent to the black and white illustrations of 
  2848. the M-set in "The Beauty of Fractals." 
  2849.  
  2850. The distance estimator method widens very thin "strands" which are part of the 
  2851. "inside" of the set.  Instead of hiding invisibly between pixels, these strands 
  2852. are made one pixel wide. 
  2853.  
  2854. Though this option is available with any escape time fractal type, the formula 
  2855. used is specific to the mandel and julia types - for most other types it 
  2856. doesn't do a great job. 
  2857.  
  2858. To turn on the distance estimator method with any escape time  fractal type, 
  2859. set the "Distance Estimator" value on the <Y> options screen (or use the 
  2860. "distest=" command line parameter). 
  2861.  
  2862. Setting the distance estimator option to a negative value -nnn enables 
  2863. edge-tracing mode.  The edge of the set is display as color number nnn. This 
  2864. option works best when the "inside" and "outside" color values are also set to 
  2865. some other value(s). 
  2866.  
  2867. In a 2 color (monochrome) mode, setting to any positive value results in the 
  2868. inside of the set being expanded to include edge points, and the outside points 
  2869. being displayed in the other color. 
  2870.  
  2871. In color modes, setting to value 1 causes the edge points to be displayed using 
  2872. the inside color and the outside points to be displayed in their usual colors. 
  2873. Setting to a value greater than one causes the outside points to be displayed 
  2874. as contours, colored according to their distance from the inside of the set. 
  2875. Use a higher value for narrower color bands, a lower value for wider ones. 
  2876. 1000 is a good value to start with. 
  2877.  
  2878. The second distance estimator parameter ("width factor") sets the distance from 
  2879. the inside of the set which is to be considered as part of the inside.  This 
  2880. value is expressed as a percentage of a pixel width, the default is 71. 
  2881.  
  2882. You should use 1 or 2 pass mode with the distance estimator method, to avoid 
  2883. missing some of the thin strands made visible by it.  For the highest quality, 
  2884. "maxiter" should also be set to a high value, say 1000 or so.  You'll probably 
  2885. also want "inside" set to zero, to get a black interior. 
  2886.  
  2887. Enabling the distance estimator method automatically toggles to floating point 
  2888. mode. When you reset distest back to zero, remember to also turn off floating 
  2889. point mode if you want it off. 
  2890.  
  2891. Unfortunately, images using the distance estimator method can take many hours 
  2892. to calculate even on a fast machine with a coprocessor, especially if a high 
  2893. "maxiter" value is used.  One way of dealing with this is to leave it turned 
  2894. off while you find and frame an image.    Then hit <B> to save the current image 
  2895. information in a parameter file (see {Parameter Save/Restore Commands}).  Use 
  2896. an editor to change the parameter file entry, adding "distest=1", 
  2897. "video=something" to select a high- resolution monochrome disk-video mode, 
  2898. "maxiter=1000", and "inside=0". Run the parameter file entry with the <@> 
  2899. command when you won't be needing your machine for a while (over the weekend?) 
  2900.  
  2901.  
  2902. ΓòÉΓòÉΓòÉ 6.3. Acrospin ΓòÉΓòÉΓòÉ
  2903.  
  2904. ACROSPIN, by David Parker - An inexpensive commercial program that reads an 
  2905. object definition file and creates images that can be rapidly rotated in three 
  2906. dimensions. The Fractint "orbitsave=yes" option creates files that this program 
  2907. can read for orbit-type fractals and IFS fractals. Contact: 
  2908.  
  2909.    David Parker                         801-966-2580
  2910.    P O Box 26871                        800-227-6248
  2911.    Salt Lake City, UT  84126-0871
  2912.  
  2913.  
  2914. ΓòÉΓòÉΓòÉ 6.4. Decomposition ΓòÉΓòÉΓòÉ
  2915.  
  2916. You'll remember that most fractal types are calculated by iterating a simple 
  2917. function of a complex number, producing another complex number, until either 
  2918. the number exceeds some pre-defined "bailout" value, or the iteration limit is 
  2919. reached. The pixel corresponding to the starting point is then colored based on 
  2920. the result of that calculation. 
  2921.  
  2922. The decomposition option ("decomp=", on the <X> screen) toggles to another 
  2923. coloring protocol.  Here the points are colored according to which quadrant of 
  2924. the complex plane (negative real/positive imaginary, positive real/positive 
  2925. imaginary, etc.) the final value is in. If you use 4 as the parameter, points 
  2926. ending up in each quadrant are given their own color; if 2 (binary 
  2927. decomposition), points in alternating quadrants are given 2 alternating colors. 
  2928.  
  2929. The result is a kind of warped checkerboard coloring, even in areas that would 
  2930. ordinarily be part of a single contour. Remember, for the M-set all points 
  2931. whose final values exceed 2 (by any amount) after, say, 80 iterations are 
  2932. normally the same color; under decomposition, Fractint runs [bailout-value] 
  2933. iterations and then colors according to where the actual final value falls on 
  2934. the complex plane. 
  2935.  
  2936. When using decomposition, a higher bailout value will give a more accurate 
  2937. plot, at some expense in speed.  You might want to set the bailout value (in 
  2938. the parameters prompt following selection of a new fractal type; present for 
  2939. most but not all types) to a higher value than the default.  A value of about 
  2940. 50 is a good compromise for M/J sets. 
  2941.  
  2942.  
  2943. ΓòÉΓòÉΓòÉ 6.5. GIF Save File Format ΓòÉΓòÉΓòÉ
  2944.  
  2945. Since version 5.0, Fractint has had the <S>ave-to-disk command, which stores 
  2946. screen images in the extremely compact, flexible .GIF (Graphics Interchange 
  2947. Format) widely supported on Compuserve. Version 7.0 added the 
  2948. <R>estore-from-disk capability. 
  2949.  
  2950. Until version 14, Fractint saved images as .FRA files, which were a 
  2951. non-standard extension of the then-current GIF87a specification.  The reason 
  2952. was that GIF87a did not offer a place to store the extra information needed by 
  2953. Fractint to implement the <R> feature -- i.e., the parameters that let you keep 
  2954. zooming, etc. as if the restored file had just been created in this session. 
  2955. The .FRA format worked with all of the popular GIF decoders that we tested, but 
  2956. these were not true GIF files. For one thing, information after the GIF 
  2957. terminator (which is where we put the extra info) has the potential to confuse 
  2958. the on-line GIF viewers used on Compuserve. For another, it is the opinion of 
  2959. some GIF developers that the addition of this extra information violates the 
  2960. GIF87a spec. That's why we used the default filetype .FRA instead. 
  2961.  
  2962. Since version 14, Fractint has used a genuine .GIF format, using the GIF89a 
  2963. spec - an upwardly compatible extension of GIF87a, released by Compuserve on 
  2964. August 1 1990. This new spec allows the placement of application data within 
  2965. "extension blocks". In version 14 we changed our default savename extension 
  2966. from .FRA to .GIF. 
  2967.  
  2968. There is one significant advantage to the new GIF89a format compared to the old 
  2969. GIF87a-based .FRA format for Fractint purposes:  the new .GIF files may be 
  2970. uploaded to the Compuserve graphics forums (such as Fractint's home forum, 
  2971. COMART) with fractal information intact.  Therefore anyone downloading a 
  2972. Fractint image from Compuserve will also be downloading all the information 
  2973. needed to regenerate the image. 
  2974.  
  2975. Fractint can still read .FRA files generated by earlier versions.  If for some 
  2976. reason you wish to save files in the older GIF87a format, for example because 
  2977. your favorite GIF decoder has not yet been upgraded to GIF89a, use the 
  2978. command-line parameter "GIF87a=yes". Then any saved files will use the original 
  2979. GIF87a format without any application-specific information. 
  2980.  
  2981. An easy way to convert an older .FRA file into true .GIF format suitable for 
  2982. uploading is something like this at the DOS prompt: 
  2983.  
  2984. FRACTINT MYFILE.FRA SAVENAME=MYFILE.GIF BATCH=YES
  2985. Fractint will load MYFILE.FRA, save it in true .GIF format as MYFILE.GIF, and 
  2986. return to DOS. 
  2987.  
  2988. GIF and "Graphics Interchange Format" are trademarks of Compuserve 
  2989. Incorporated, an H&R Block Company. 
  2990.  
  2991.  
  2992. ΓòÉΓòÉΓòÉ 6.6. Bibliography ΓòÉΓòÉΓòÉ
  2993.  
  2994. BARNSLEY, Michael: "Fractals Everywhere", Academic Press, 1988. 
  2995.  
  2996. DEWDNEY, A. K., "Computer Recreations" columns in "Scientific American" -- 
  2997. 8/85, 7/87, 11/87, 12/88, 7/89. 
  2998.  
  2999. FEDER, Jens: "Fractals", Plenum, 1988. 
  3000.  
  3001. Quite technical, with good coverage of applications in fluid percolation, game 
  3002. theory, and other areas. 
  3003.  
  3004. GLEICK, James: "Chaos: Making a New Science", Viking Press, 1987. 
  3005.  
  3006. The best non-technical account of the revolution in our understanding of 
  3007. dynamical systems and its connections with fractal geometry. 
  3008.  
  3009. MANDELBROT, Benoit: "The Fractal Geometry of Nature", W. H. Freeman & Co., 
  3010. 1982. 
  3011.  
  3012. An even more revised and expanded version of the 1977 work. A rich and 
  3013. sometimes confusing stew of formal and informal mathematics, the prehistory of 
  3014. fractal geometry, and everything else. Best taken in small doses. 
  3015.  
  3016. MANDELBROT, Benoit: "Fractals: Form, Chance, and Dimension", W. H. Freeman & 
  3017. Co., 1977 
  3018.  
  3019. A much revised translation of "Les objets fractals: forme, hasard, et 
  3020. dimension," Flammarion, 1975. 
  3021.  
  3022. PEITGEN, Heinz-Otto & RICHTER, Peter: "The Beauty of Fractals," Springer- 
  3023. Verlag, 1986. 
  3024.  
  3025. THE coffee-table book of fractal images, knowledgeable on computer graphics as 
  3026. well as the mathematics they portray. 
  3027.  
  3028. PEITGEN, Heinz-Otto & SAUPE, Ditmar: "The Science of Fractal Images," 
  3029. Springer-Verlag, 1988. 
  3030.  
  3031. A fantastic work, with a few nice pictures, but mostly filled with 
  3032. *equations*!!! 
  3033.  
  3034. WEGNER, Timothy & PETERSON, Mark: "Fractal Creations", Waite Group Press, 1991. 
  3035.  
  3036. If we tell you how *wonderful* this book is you might think we were bragging, 
  3037. so let's just call it:  THE definitive companion to Fractint! 
  3038.  
  3039.  
  3040. ΓòÉΓòÉΓòÉ 6.7. Palette Maps ΓòÉΓòÉΓòÉ
  3041.  
  3042. If you have a VGA, MCGA, Super-VGA, 8514/A, XGA, TARGA, or TARGA+ video 
  3043. adapter, you can save and restore color palettes for use with any image.  To 
  3044. load a palette onto an existing image, use the  File/Read Color Map command. To 
  3045. save a palette, use the  File/Write Color Map command. To change the default 
  3046. palette for an entire run, use the command line "map=" parameter. 
  3047.  
  3048. The default filetype for color-map files is ".MAP". 
  3049.  
  3050. These color-maps are ASCII text files set up as a series of RGB triplet values 
  3051. (one triplet per line, encoded as the red, green, and blue [RGB] components of 
  3052. the color). 
  3053.  
  3054. Note that .MAP file color values are in GIF format - values go from 0 (low) to 
  3055. 255 (high), so for a VGA adapter they get divided by 4 before being stuffed 
  3056. into the VGA's Video-DAC registers (so '6' and '7' end up referring to the same 
  3057. color value). 
  3058.  
  3059. PMFRACT is distributed with some sample .MAP files: 
  3060.  
  3061. ALTERN.MAP               the famous "Peterson-Vigneau Pseudo-Grey Scale" 
  3062.  
  3063. BLUES.MAP                for rainy days, by Daniel Egnor 
  3064.  
  3065. CHROMA.MAP               general purpose, chromatic 
  3066.  
  3067. DEFAULT.MAP              the VGA start-up values 
  3068.  
  3069. FIRESTRM.MAP             general purpose, muted fire colors 
  3070.  
  3071. GAMMA1.MAP and GAMMA2.MAP Lee Crocker's response to ALTERN.MAP 
  3072.  
  3073. GLASSES1.MAP             used with 3d glasses modes 
  3074.  
  3075. GLASSES2.MAP             used with 3d glasses modes 
  3076.  
  3077. GOODEGA.MAP              for EGA users 
  3078.  
  3079. GREEN.MAP                shaded green 
  3080.  
  3081. GREY.MAP                 another grey variant 
  3082.  
  3083. GRID.MAP                 for stereo surface grid images 
  3084.  
  3085. HEADACHE.MAP             major stripes, by D. Egnor (try cycling and hitting 
  3086.                          <2>) 
  3087.  
  3088. LANDSCAP.MAP             Guruka Singh Khalsa's favorite map for plasma 
  3089.                          "landscapes" 
  3090.  
  3091. NEON.MAP                 a flashy map, by Daniel Egnor 
  3092.  
  3093. PAINTJET.MAP             high resolution mode PaintJet colors 
  3094.  
  3095. ROYAL.MAP                the royal purple, by Daniel Egnor 
  3096.  
  3097. TOPO.MAP                 Monte Davis's contribution to full color terrain 
  3098.  
  3099. VOLCANO.MAP              an explosion of lava, by Daniel Egnor 
  3100.  
  3101. COV1.MAP and COV2.MAP    the continuous spectrum 256-color palettes described 
  3102.                          in the article "HAX 9 - A Better 256-Color VGA 
  3103.                          Palette", PC Techniques Vol. 1, No. 2, June/July 1990, 
  3104.                          page 8. 
  3105.  
  3106. PLASMA.MAP               the Fractint for DOS 256-color palette used for the 
  3107.                          PLASMA display. 
  3108.  
  3109.  
  3110. ΓòÉΓòÉΓòÉ 7. Settings Selections ΓòÉΓòÉΓòÉ
  3111.  
  3112. Settings are the parameters and options that determine how the program will 
  3113. evaluate the selected fractal formula. 
  3114.  
  3115. Settings come in the following flavors: 
  3116.  
  3117. o Extents 
  3118.  
  3119. o Parameters 
  3120.  
  3121. o Options 
  3122.  
  3123. o Image Settings 
  3124.  
  3125. o Palette Switching 
  3126.  
  3127.  
  3128. ΓòÉΓòÉΓòÉ 7.1. Extents ΓòÉΓòÉΓòÉ
  3129.  
  3130. The Extents of the fractal are the range of the complex plane over which the 
  3131. fractal will be calculated. 
  3132.  
  3133. The numbers that can be entered are limited, and will be automatically adjusted 
  3134. if entered out of limits. This can be because of restrictions in the fractal 
  3135. calculation algorithms, or just because looking at a wider range lacks detail 
  3136. and is therefore uninteresting. 
  3137.  
  3138. If you are interested in zeroing in at a particular complex number, that value 
  3139. can be entered as the "Center" X and Y values. The Left, Right, Top, and Bottom 
  3140. values will then be automatically adjusted to make that value the center but 
  3141. stay in acceptable limits. 
  3142.  
  3143. When entry is complete, select OK, or press Enter. To exit with no changes, 
  3144. select Cancel, or press Escape. To see the default (built-in) values, press 
  3145. Default. To proceed with the default values, press Default, then OK. Exiting 
  3146. with OK will cause the fractal to be recalculated over the new extents. 
  3147.  
  3148. Extents come in the following flavors: 
  3149.  
  3150. o X Range 
  3151.  
  3152. o Y Range 
  3153.  
  3154.  
  3155. ΓòÉΓòÉΓòÉ 7.1.1. X Range ΓòÉΓòÉΓòÉ
  3156.  
  3157. The "X Range" values are the left and right (lower and upper) decimal numbers 
  3158. that define the rectangle's range in the X, or real, or left-to-right range of 
  3159. the complex plane. 
  3160.  
  3161. The numbers that can be entered are limited, and will be automatically adjusted 
  3162. if entered out of limits. This can be because of restrictions in the fractal 
  3163. calculation algorithms, or just because looking at a wider range lacks detail 
  3164. and is therefore uninteresting. 
  3165.  
  3166. If you are interested in zeroing in at a particular complex number, that value 
  3167. can be entered as the "Center" X and Y values. The Left, Right, Top, and Bottom 
  3168. values will then be automatically adjusted to make that value the center but 
  3169. stay in acceptable limits. 
  3170.  
  3171. When entry is complete, select OK, or press Enter. To exit with no changes, 
  3172. select Cancel, or press Escape. To see the default (built-in) values, press 
  3173. Default. To proceed with the default values, press Default, then OK. Exiting 
  3174. with OK will cause the fractal to be recalculated over the new extents. 
  3175.  
  3176.  
  3177. ΓòÉΓòÉΓòÉ 7.1.2. Y Range ΓòÉΓòÉΓòÉ
  3178.  
  3179. The "Y Range" values are the top and bottom (upper and lower) decimal numbers 
  3180. that define the rectangle's range in the Y, or imaginary, or top-to-bottom 
  3181. range of the complex plane. 
  3182.  
  3183. The numbers that can be entered are limited, and will be automatically adjusted 
  3184. if entered out of limits. This can be because of restrictions in the fractal 
  3185. calculation algorithms, or just because looking at a wider range lacks detail 
  3186. and is therefore uninteresting. 
  3187.  
  3188. If you are interested in zeroing in at a particular complex number, that value 
  3189. can be entered as the "Center" X and Y values. The Left, Right, Top, and Bottom 
  3190. values will then be automatically adjusted to make that value the center but 
  3191. stay in acceptable limits. 
  3192.  
  3193. When entry is complete, select OK, or press Enter. To exit with no changes, 
  3194. select Cancel, or press Escape. To see the default (built-in) values, press 
  3195. Default. To proceed with the default values, press Default, then OK. Exiting 
  3196. with OK will cause the fractal to be recalculated over the new extents. 
  3197.  
  3198.  
  3199. ΓòÉΓòÉΓòÉ 7.2. Parameters ΓòÉΓòÉΓòÉ
  3200.  
  3201. The Parameters of each fractal algorithm are described by a short title, which 
  3202. appears above the entry field for each of the (up to) four parameters. 
  3203.  
  3204. Parameters that don't apply to a given fractal type will have no title, and the 
  3205. entry field will be inaccessible. 
  3206.  
  3207. For information on what the parameters mean, just select "Help" and the fractal 
  3208. formula with the explaination of the parameters will be displayed. 
  3209.  
  3210. When entry is complete, select OK, or press Enter. To exit with no changes, 
  3211. select Cancel, or press Escape. To see the default (built-in) values, press 
  3212. Default. To proceed with the default values, press Default, then OK. Exiting 
  3213. with OK will cause the fractal to be recalculated with the new parameters. 
  3214.  
  3215.  
  3216. ΓòÉΓòÉΓòÉ 8. Operation Instructoins ΓòÉΓòÉΓòÉ
  3217.  
  3218. Copyright Copyright (C) 1992 The Stone Soup Group.  FRACTINT for OS/2 2.0 may 
  3219. be freely copied and distributed, but may not be sold. 
  3220.  
  3221. GIF and "Graphics Interchange Format" are trademarks of Compuserve 
  3222. Incorporated, an H&R Block Company. 
  3223.  
  3224. Select a topic from the following list for information on using this program. 
  3225.  
  3226.  What's New 
  3227.  
  3228.  Introduction 
  3229.  
  3230.  History of this program 
  3231.  
  3232.  Distribution policy 
  3233.  
  3234.  Contacting the author 
  3235.  
  3236.  Fractal Types 
  3237.  
  3238.  Miscellaneous topics 
  3239.  
  3240.  Program Operation 
  3241.  
  3242.  
  3243. ΓòÉΓòÉΓòÉ 8.1. How to operate FRACTINT for OS/2 2.0 ΓòÉΓòÉΓòÉ
  3244.  
  3245. FRACTINT for OS/2 2.0 operates from the menu via either a mouse or a keyboard. 
  3246. However, zooming and panning using either  View/Pan Center or the  View/Zoom 
  3247. In/Zoom Out works only with a mouse. To change the are of the fractal viewed 
  3248. using the keyboard, change the extents and/or center using  Settings/Extents. 
  3249.  
  3250. Select a topic below for additional information. 
  3251.  
  3252.  Main Menu 
  3253.  
  3254.  Zooming and Panning 
  3255.  
  3256.  File menu 
  3257.  
  3258.  Edit menu 
  3259.  
  3260.  View menu 
  3261.  
  3262.  Settings menu 
  3263.  
  3264.  Help menu 
  3265.  
  3266.  
  3267. ΓòÉΓòÉΓòÉ 8.2. Main Menu ΓòÉΓòÉΓòÉ
  3268.  
  3269. The main controls are the fifth and sixth menu bar entries. The fifth entry 
  3270. switches between "Halt!" and "Freeze!". When "Halt!" is displayed, it implies 
  3271. that a fractal is being calculated and drawn, and if you want to stop the 
  3272. calculation, select "Halt!" and it will stop shortly. When "Freeze!" is 
  3273. displayed, a calculation is not in progress and selecting "Freeze!" will cause 
  3274. a calculation to not automatically start, as it would after selecting values 
  3275. from either the View, Settings, or File pull-downs, but will wait for an 
  3276. explicit "Go!" menu selection. 
  3277.  
  3278. When you get tired of consuming computer resources looking at pretty pictures, 
  3279. the File/Exit selection will shut down the program. 
  3280.  
  3281.  
  3282. ΓòÉΓòÉΓòÉ 8.3. Zooming or Panning ΓòÉΓòÉΓòÉ
  3283.  
  3284. To see a smaller part of the fractal, blown up to full screen size, use 
  3285. selections from the View/Zoom In or View/Zoom Out menu. View changing with the 
  3286. mouse is Object/Action oriented, as the IBM SAA guidelines expect. Zoom In or 
  3287. Zoom Out select magnification or reduction by either a fixed or selectable 
  3288. amount around the current center of the display. Click the left mouse button to 
  3289. display cross-hairs. View/Pan Center then pans to this point. To Zoom to a 
  3290. window, click and drag the left mouse button to outline a rectangle. Then 
  3291. either pick View/Zoom In/to Window to zoom in, or View/Zoom Out/to Window to 
  3292. zoom out. 
  3293.  
  3294.  
  3295. ΓòÉΓòÉΓòÉ 8.4. File menu ΓòÉΓòÉΓòÉ
  3296.  
  3297. The File menu allows you to select a fractal, read a .GIF, .BMP, or .PCX file 
  3298. into the program, write the current fractal/window out as a .GIF, .BMP, or 
  3299. .PCX, print the current window contents, or load or save palette files. 
  3300.  
  3301. The following selections are on the File menu. 
  3302.  
  3303.  New 
  3304.  
  3305.  Open 
  3306.  
  3307.  Save as 
  3308.  
  3309.  Print 
  3310.  
  3311.  Target Printer 
  3312.  
  3313.  Read Color Map 
  3314.  
  3315.  Write Color Map 
  3316.  
  3317.  
  3318. ΓòÉΓòÉΓòÉ 8.4.1. New ΓòÉΓòÉΓòÉ
  3319.  
  3320. The File/New selection allows you to select a fractal type from a dialog box. 
  3321.  
  3322. The current fractal, even if not yet complete, will be completely replaced by 
  3323. the new fractal. 
  3324.  
  3325. To set extents, parameters, or options for this fractal, use selections from 
  3326. the  Settings menu. 
  3327.  
  3328.  
  3329. ΓòÉΓòÉΓòÉ 8.4.2. Open ΓòÉΓòÉΓòÉ
  3330.  
  3331. File/Open reads in a .GIF file (saved by one of the FRACTINT family programs) 
  3332. to view, a variety of Bitmap (BMP) formats, or the PC Paintbrush .PCX format. 
  3333.  
  3334. A .GIF file created by other than a FRACTINT family program, or any bitmap or 
  3335. PCX file, will be restored as a PLASMA fractal, which is not zoomable or 
  3336. otherwise editable. 
  3337.  
  3338. The program can read the following types of bitmaps: 
  3339.  
  3340. o OS/2 1.x bitmaps 
  3341.  
  3342. o Windows 3.0 device independent bitmaps (DIBs) 
  3343.  
  3344. o Windows 3.0 DIBs compressed as RLE4 or RLE8 
  3345.  
  3346. o OS/2 2.0 bitmaps 
  3347.  
  3348. o OS/2 2.0 bitmaps compressed as RLE4 or RLE8 
  3349.  
  3350. Indicating any of the bitmap formats will allow you to read any of the 
  3351. indicated formats: i.e. the program will figure out what the format is from the 
  3352. file contents. This is because I don't see any easy way for you as the user to 
  3353. know what format bitmap you have just by looking at the filename (at least I 
  3354. can't). 
  3355.  
  3356. After indicating the type of file to read, a standard file selection dialog box 
  3357. will be displayed. You may then search around for the file you are interested 
  3358. in. 
  3359.  
  3360. File/Open is available only if a calculation is not currently in progress. 
  3361.  
  3362.  
  3363. ΓòÉΓòÉΓòÉ 8.4.3. Save as ΓòÉΓòÉΓòÉ
  3364.  
  3365. File/Save as writes a .GIF file, any of the supported bitmap formats noted, or 
  3366. a PC Paintbrush .PCX file. 
  3367.  
  3368. The file format for the Bitmap file will be determined by your selection from 
  3369. the list of BMPs indicated (some programs will only read one of those 
  3370. supported). 
  3371.  
  3372. o OS/2 1.x bitmaps 
  3373.  
  3374. o Windows 3.0 device independent bitmaps (DIBs) 
  3375.  
  3376. o Windows 3.0 DIBs compressed as RLE4 or RLE8 
  3377.  
  3378. o OS/2 2.0 bitmaps 
  3379.  
  3380. o OS/2 2.0 bitmaps compressed as RLE4 or RLE8 
  3381.  
  3382. After indicating the type of file to write, a standard file selection dialog 
  3383. box will be displayed. You may then specify a file name or search around for an 
  3384. existing file to select and replace. 
  3385.  
  3386. File/Save as is available only if a calculation is not currently in progress. 
  3387.  
  3388. Note:  The compressed forms may be use if you want to transfer the image to a 
  3389. program that can process compressed bitmaps, and the image contains significant 
  3390. areas of one color. I leave "significant" undefined, as it depends on the file 
  3391. as a whole. 
  3392.  
  3393. The Run Length Encoded (RLE) compression algorithms are fairly simple, and my 
  3394. implementations of them is even more simple-minded. The GIF format is still 
  3395. much better for complicated images. 
  3396.  
  3397.  
  3398. ΓòÉΓòÉΓòÉ 8.4.4. Print ΓòÉΓòÉΓòÉ
  3399.  
  3400. File/Print prints to the selected Presentation Manger printer. The  Print 
  3401. Dialog will display letting you set the number of copies to print. 
  3402.  
  3403. Note:  If you are printing to a Presentation Manager printer that only prints 
  3404. black and white (well, actually, only prints black or the paper color), then 
  3405. you must select one of the 2-color palette settings (either "Black/White" or 
  3406. "White/Black") before printing to get a usable result. Printing attempts to map 
  3407. the displayed colors to the capabilities of the printer as best it can. 
  3408. Unfortunately, the rules for printing to a 2-color printer are that the 
  3409. "Foreground" color (usually white) will come out as black, and all the rest 
  3410. will come out as white (background). The result is usually not as interesting 
  3411. as the multi-color display. 
  3412.  
  3413. This support is here so that a color printer will attempt to map displayed 
  3414. colors as best it can to the colors available in the printer. Unfortunately, 
  3415. that then makes printing to a black and white printer a special case. 
  3416.  
  3417. File/Print is only available if a calculation is not currently in progress. 
  3418.  
  3419. For more information, see  Palette switching. 
  3420.  
  3421.  
  3422. ΓòÉΓòÉΓòÉ 8.4.5. Read Color Map ΓòÉΓòÉΓòÉ
  3423.  
  3424. File/Read Color Map reads a FRACTINT family .MAP file and makes it available as 
  3425. the User Palette selection in the Settings/Set Palette dialog, discussed below. 
  3426.  
  3427. For a description of some of the available files, see  Palette Maps. 
  3428.  
  3429.  
  3430. ΓòÉΓòÉΓòÉ 8.4.6. Write Color Map ΓòÉΓòÉΓòÉ
  3431.  
  3432. File/Write Color Map writes the palette values currently selected by the 
  3433. Settings/Set Palette dialog to a FRACTINT family .MAP file. 
  3434.  
  3435. For a description of some of the available files, see  Palette Maps. 
  3436.  
  3437.  
  3438. ΓòÉΓòÉΓòÉ 8.5. Edit menu ΓòÉΓòÉΓòÉ
  3439.  
  3440. The Edit menu allows access to the OS/2 Presentation Manager Clipboard. This 
  3441. allows the screen contents to be transfered to another program that can extract 
  3442. a Bitmap from the PM Clipboard, or to receive a bitmap generated by another 
  3443. program. The other program could be a paint program, ICON editor, or whatever. 
  3444.  
  3445. The menu has the following options: 
  3446.  
  3447.  Copy Bmp 
  3448.  
  3449.  Paste 
  3450.  
  3451.  Clear ClipBoard 
  3452.  
  3453.  
  3454. ΓòÉΓòÉΓòÉ 8.5.1. Copy Bmp ΓòÉΓòÉΓòÉ
  3455.  
  3456. Edit/Copy Bmp will place a copy of the current screen image on the PM Clipboard 
  3457. as a Bitmap. Color information is transmitted as part of the bitmap, but the 
  3458. fractal description information (that would be saved as part of a FRACTINT .GIF 
  3459. file) is not. This option is available only when a fractal is currently not 
  3460. being calculated, and will be grayed-out if it cannot be selected. 
  3461.  
  3462.  
  3463. ΓòÉΓòÉΓòÉ 8.5.2. Paste ΓòÉΓòÉΓòÉ
  3464.  
  3465. Edit/Paste, brings a bitmap off the PM Clipboard back onto the screen. As no 
  3466. fractal description information is available, the display becomes a PLASMA 
  3467. fractal. Edit/Paste is available only if a calculation is not currently in 
  3468. progress, and there is actually a bitmap on the Clipboard. 
  3469.  
  3470.  
  3471. ΓòÉΓòÉΓòÉ 8.5.3. Clear ClipBoard ΓòÉΓòÉΓòÉ
  3472.  
  3473. Edit/Clear ClipBoard causes Fractint for PM to discard any current contents of 
  3474. the PM Clipboard, whatever it is and from whatever source is came from. 
  3475.  
  3476. This is a useful way to save some memory if you don't what the current 
  3477. clipboard contents. Unless told to discard the Clipboard, Presentation Manger 
  3478. will hold on to the bitmap until you shut your system down. 
  3479.  
  3480.  
  3481. ΓòÉΓòÉΓòÉ 8.6. View menu ΓòÉΓòÉΓòÉ
  3482.  
  3483. The View menu allows you to move around in the current fractal image. This is 
  3484. possible on most fractal types. 
  3485.  
  3486. Note:  Zooming or Panning is not possible for the PLASMA fractal type. Since 
  3487. this is also the type used internally for an image (Bitmap or .GIF file) that 
  3488. is not from a Fractint family source, zooming and panning is also not possible 
  3489. on these images. 
  3490.  
  3491. The following selections are on the View menu. 
  3492.  
  3493.  various Zoom selections 
  3494.  
  3495.  Pan center 
  3496.  
  3497.  
  3498. ΓòÉΓòÉΓòÉ 8.6.1. Zoom selections ΓòÉΓòÉΓòÉ
  3499.  
  3500. The various zoom selections provide zooming in or out to see more or less 
  3501. detail of the fractal. 
  3502.  
  3503. Details are given under  Zooming and Panning. 
  3504.  
  3505. Variable zooming is provided by a prompting window for a zoom factor. A decimal 
  3506. number is allowed as a zoom factor. 
  3507.  
  3508.  
  3509. ΓòÉΓòÉΓòÉ 8.6.2. Pan Center ΓòÉΓòÉΓòÉ
  3510.  
  3511. This selection chantges the point that is the center of the screen. 
  3512.  
  3513. Details are given under  Zooming and Panning. 
  3514.  
  3515.  
  3516. ΓòÉΓòÉΓòÉ 8.7. Settings menu ΓòÉΓòÉΓòÉ
  3517.  
  3518. Settings are the parameters and options that determine how the program will 
  3519. evaluate the selected fractal formula. 
  3520.  
  3521. The following selections are on the Settings menu. 
  3522.  
  3523.  Swap 
  3524.  
  3525.  Set Extents 
  3526.  
  3527.  Set Parameters 
  3528.  
  3529.  Set Options 
  3530.  
  3531.  Reset 
  3532.  
  3533.  Image Settings 
  3534.  
  3535.  Palette switching 
  3536.  
  3537.  
  3538. ΓòÉΓòÉΓòÉ 8.7.1. Swap ΓòÉΓòÉΓòÉ
  3539.  
  3540. The Settings/Swap to Mandel or Settings/Swap to Julia allows you to switch 
  3541. between related Mandelbrot and Julia sets if the specific fractal allows that. 
  3542.  
  3543.  
  3544. ΓòÉΓòÉΓòÉ 8.7.2. Set Extents ΓòÉΓòÉΓòÉ
  3545.  
  3546. The Settings/Set Extents displays and allows modification of the X and Y 
  3547. extents of the complex plane (the numbers that the fractals are defined and 
  3548. calculated on) that the display window represents. This is a numeric display of 
  3549. the changes made by the View menu. 
  3550.  
  3551.  More Detail 
  3552.  
  3553.  
  3554. ΓòÉΓòÉΓòÉ 8.7.3. Set Parameters ΓòÉΓòÉΓòÉ
  3555.  
  3556. The Settings/Set Parameters displays and allows modification to various numeric 
  3557. parameters that each fractal calculation contains. The meaning and effects of 
  3558. these parameters can be determined by selecting help when the dialog box is 
  3559. displayed. The help window will detail the parameters for the current fractal 
  3560. type. 
  3561.  
  3562.  More Detail 
  3563.  
  3564.  
  3565. ΓòÉΓòÉΓòÉ 8.7.4. Set Options ΓòÉΓòÉΓòÉ
  3566.  
  3567. The Settings/Set Options selects various calculation options, such as integer 
  3568. or floating point math, number of passes, and calculation depth (max 
  3569. iterations). 
  3570.  
  3571.  
  3572. ΓòÉΓòÉΓòÉ 8.7.5. Reset ΓòÉΓòÉΓòÉ
  3573.  
  3574. The Settings/Reset Above will, when in the Freeze state, allow the cancelation 
  3575. of changes made by one of the above choices, restoring the "current" 
  3576. calculation options from what is currently displayed. 
  3577.  
  3578.  
  3579. ΓòÉΓòÉΓòÉ 8.7.6. Image Settings ΓòÉΓòÉΓòÉ
  3580.  
  3581. The Settings/Set Image Settings changes the number and color depth of the 
  3582. pixels being calculated. The colors can be 2 (black and white), 16 color, or 
  3583. 256 color. The pixel dimensions largely affect the resolution of a future saved 
  3584. or printed image, as whatever is being calculated will be compressed or 
  3585. expanded as needed to fit in the display window. 
  3586.  
  3587. Note:  The fractal calculation engine has finally recieved a reprieve from the 
  3588. limits of the 64K segments of DOS and WINDOWS. As such, the fractal image can 
  3589. now be 4096 by 4096 pixels. 
  3590.  
  3591. Warning: Don't over do this new-found freedom. 
  3592.  
  3593. Do a little reality check first. 
  3594.  
  3595. The fact is PMFRACT needs a pixel memory array of the size you ask, and OS/2 
  3596. NEEDS ONE, TOO. 
  3597.  
  3598. A little calculation: 
  3599.  
  3600. A 2-color image needs 1 bit per pixel, a 16-color image needs a half byte (4 
  3601. bits), and a 256-color image needs 1 full byte (8 bits). An image 4096 by 4096 
  3602. by 256 colors needs 4096x4096/1 = 16,777,216 bytes or 16 megabytes -- TIMES 2; 
  3603. or 32 MEGABYTES of memory. OS/2 2.0 can handle it. Can your system? 
  3604.  
  3605. Remember, what doesn't fit in your real memory comes out of your hard disk's 
  3606. SWAPPER.DAT file. Do you have that much space free to begin with? Can the drive 
  3607. live long enough to handle all the swapping? A test (well, really a finger 
  3608. check) during development revealed that you can easily end up with a situation 
  3609. that could only be described as disk-video at its worst. (And no, OS/2 2.0 Did 
  3610. Not Crash.) 
  3611.  
  3612.  
  3613. ΓòÉΓòÉΓòÉ 8.7.7. Palette switching ΓòÉΓòÉΓòÉ
  3614.  
  3615. The Settings/Set Palette selects a dialog giving various palette options. The 
  3616. Black and White, 16-color VGA, 256-color VGA, and Physical palette are fixed by 
  3617. the program or your hardware. 
  3618.  
  3619. The User Loaded Palette selection will be enabled when sucessfully loaded by an 
  3620. external palette, such as reading a Color Map via the File/Read Color Map menu 
  3621. selection, or by the palette contained in a loaded .GIF file or bitmap. 
  3622.  
  3623. The "Black/White" and "White/Black" selections are available to allow you to 
  3624. set up for printing on a 2-color printer and view the result before pringing. 
  3625. For more information on printing, see  Print. 
  3626.  
  3627.  
  3628. ΓòÉΓòÉΓòÉ 8.8. Help ΓòÉΓòÉΓòÉ
  3629.  
  3630. At any time additional Help can be displayed. 
  3631.  
  3632. Help for Help describes how to use the help system. 
  3633.  
  3634.  General Help goes to a panel giving access to topics from an overview of 
  3635. fractals, details of the fractal types and formulas implemented in this 
  3636. program, and details on the operation of this program. 
  3637.  
  3638.  Keys Help details the single keystroke "Hot Keys" available. 
  3639.  
  3640. Help Index will display all topics included in this help system. It is also 
  3641. available by selecting the "Index" button at the bottom of this help system 
  3642. window. 
  3643.  
  3644. About displays copyright, author, and release information for the program. 
  3645.  
  3646.  
  3647. ΓòÉΓòÉΓòÉ 8.9. Print ΓòÉΓòÉΓòÉ
  3648.  
  3649. Here you see confirmation of the printer you are about to print to and the name 
  3650. of the fractal you are about to print. 
  3651.  
  3652. If desired, set a number of copies in the "Copies" box, then select "Print" to 
  3653. start the print process. 
  3654.  
  3655. The screen will blank as the print process occurs in the background. If 
  3656. desired, you may switch to another application while the print is occuring. 
  3657.  
  3658. If you change your mind, select "Cancel". 
  3659.  
  3660. If you don't want to print to the indicated printer, select "Cancel" then 
  3661. change the printer from the "File/Targe Printer" menu. 
  3662.  
  3663. For more information, see: 
  3664.  
  3665. o File/Print for considerations of the printing process. 
  3666.  
  3667. o File/Target Printer for details of selecting a printer. 
  3668.  
  3669.  
  3670. ΓòÉΓòÉΓòÉ 8.10. Select a File to Open ΓòÉΓòÉΓòÉ
  3671.  
  3672. Based on the file type previously selected, you see here all files of that type 
  3673. in the current directory. Select one, or select another drive or directory from 
  3674. the appropriate drop-down list, or type in a full path and file name in the 
  3675. entry box at the top (if you need the typing practice). 
  3676.  
  3677. For more information, select from below: 
  3678.  
  3679. o File/Open. 
  3680.  
  3681. o GIF Save File Format. 
  3682.  
  3683.  
  3684. ΓòÉΓòÉΓòÉ 8.11. Save to What File? ΓòÉΓòÉΓòÉ
  3685.  
  3686. Based on the file type previously selected, you see here all files of that type 
  3687. in the current directory. Select one, or select another drive or directory from 
  3688. the appropriate drop-down list, or type in a partial or full file name in the 
  3689. entry box at the top. 
  3690.  
  3691. Warning: You will not be warned if you are about to overwrite an existing file. 
  3692.  
  3693. For more information, select from below: 
  3694.  
  3695. o File/Save As. 
  3696.  
  3697. o GIF Save File Format. 
  3698.  
  3699.  
  3700. ΓòÉΓòÉΓòÉ 8.12. Specify the Color Map File ΓòÉΓòÉΓòÉ
  3701.  
  3702. You see here all files of type .MAP in the current directory. Select one to 
  3703. read or overwrite, or select another drive or directory from the appropriate 
  3704. drop-down list, or type in a partial or full file name in the entry box at the 
  3705. top. 
  3706.  
  3707. For more information, select from below: 
  3708.  
  3709. o Read Color Map. 
  3710.  
  3711. o Write Color Map. 
  3712.  
  3713. o Palette Maps 
  3714.  
  3715.  
  3716. ΓòÉΓòÉΓòÉ 8.13. Select an IFS File ΓòÉΓòÉΓòÉ
  3717.  
  3718. You see here all files of type .IFS in the current directory. Select one to 
  3719. read, or select another drive or directory from the appropriate drop-down list, 
  3720. or type in a partial or full file name in the entry box at the top. 
  3721.  
  3722. For more information, select from below: 
  3723.  
  3724. o Barnsley IFS Fractals 
  3725.  
  3726.  
  3727. ΓòÉΓòÉΓòÉ 8.14. Select a Formula File ΓòÉΓòÉΓòÉ
  3728.  
  3729. You see here all files of type .FRM in the current directory. Select one to 
  3730. read, or select another drive or directory from the appropriate drop-down list, 
  3731. or type in a partial or full file name in the entry box at the top. 
  3732.  
  3733. For more information, select from below: 
  3734.  
  3735. o Formula 
  3736.  
  3737.  
  3738. ΓòÉΓòÉΓòÉ 8.15. Select an L-System File ΓòÉΓòÉΓòÉ
  3739.  
  3740. You see here all files of type .L in the current directory. Select one to read, 
  3741. or select another drive or directory from the appropriate drop-down list, or 
  3742. type in a partial or full file name in the entry box at the top. 
  3743.  
  3744. For more information, select from below: 
  3745.  
  3746. o L-Systems 
  3747.  
  3748.  
  3749. ΓòÉΓòÉΓòÉ 8.16. Target Printer Selection. ΓòÉΓòÉΓòÉ
  3750.  
  3751. Select one of the printers displayed in the list box. The one initially 
  3752. highlighted is the last one you selected, or the OS/2 default you defined if 
  3753. you have not set your printer up before. 
  3754.  
  3755. The selected printer will then be the one that a subsequent "File/Print" action 
  3756. will print to. 
  3757.  
  3758. Initially, the attributes for the chosen printer (such as orientation, form, 
  3759. draft or final quality, etc.) will be the default attributes set in the printer 
  3760. setup. To change these attributes, select the printer and then press the "Job 
  3761. Properties..." button. A dialog box will be displayed which will allow you to 
  3762. see and change the attributes that are applicable to that printer. When you are 
  3763. satisfied, press "OK" from there, then "OK" on the "Printing Options" dialog 
  3764. box. 
  3765.  
  3766. Note:  Printer selections, and printer attributes, are not saved between 
  3767. executions of this program. If you desire to use a non-default printer, you 
  3768. must select it each time you run this program. If you want non-default 
  3769. attributes, you must set them each time you run this program. 
  3770.  
  3771.  
  3772. ΓòÉΓòÉΓòÉ 9. Keys Help ΓòÉΓòÉΓòÉ
  3773.  
  3774. The following keys have special meaning. To see a detailed explaination of the 
  3775. action, just tab to highlighted words and press enter, or click with the mouse. 
  3776.  
  3777. F3        Alias for File/Exit to terminate the program. 
  3778.  
  3779. F2        Alias for  File/New. 
  3780.  
  3781. Alt-F2    Alias for  File/Open. 
  3782.  
  3783. F4        Alias for  File/Print. 
  3784.  
  3785. Esc       Cancels out of  Pan or Zoom mode. 
  3786.  
  3787.           The following keys are a subset of the keys used by FRACTINT for Dos. 
  3788.  
  3789. Tab       Alias for  Settings/Extents. 
  3790.  
  3791. <T>       Alias for  File/New. 
  3792.  
  3793. <X>       Alias for  Settings/Set Options. 
  3794.  
  3795. <Y>       Another alias for  Settings/Set Options. 
  3796.  
  3797. <Z>       Alias for  Settings/Set Parameters. 
  3798.  
  3799. <S>       Alias for  File/Save As. 
  3800.  
  3801. <R>       Alias for  File/Open. 
  3802.  
  3803. <P>       Alias for  File/Print. 
  3804.